Question

直線y=kx+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，1），B（-3，0），點(diǎn)P是這條直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以P為圓心的圓與x軸相切于點(diǎn)C．
（1）求直線AB的解析式；
（2）設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，若⊙P與y軸相切，求t的值；
（3）是否存在點(diǎn)P，使⊙P與y軸兩交點(diǎn)間的距離恰好等于2？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）可以用待定系數(shù)法確定直線AB的解析式；
（2）根據(jù)P為圓心的圓與x軸相切，也與y軸相切得到它到兩坐標(biāo)軸的距離相等，設(shè)P的橫坐標(biāo)為t，就可以列出關(guān)于t的方程，解方程就可以求出t；
（3）如圖，首先根據(jù)垂徑定理得M是CD的中點(diǎn)，然后根據(jù)勾股定理計(jì)算t的值就可以求出t了．

解答：解：（1）直線AB的解析式為y=kx+b，
∴

1=b 0=-3k+b

，
∴k=

1

3

，b=1，
∴y=

1

3

x+1；

（2）設(shè)P（t，

1

3

t+1），
∵以P為圓心的圓與x軸相切，且⊙P與y軸相切，
∴t=

1

3

t+1或-t=

1

3

t+1，
∴t=

3

2

或t=-

3

4

；

（3）假設(shè)P點(diǎn)存在，
設(shè)其坐標(biāo)為：P（t，

1

3

t+1），
過(guò)P作PM⊥CD于M，PN⊥x軸于N，連接PC，
則PN=PC=

1

3

t+1，PM=t，根據(jù)已知CD=2，則CM=1，
∴PC²=PM²+CM²，
∴(

1

3

t+1)2=t2+12，
∴t₁=0，t₂=

3

4

，
∴P（0，1）或P（

3

4

，

5

4

）．

點(diǎn)評(píng)：此題把圓的知識(shí)與一次函數(shù)，勾股定理結(jié)合起來(lái)，綜合考查了這幾方面的知識(shí)，有一定的綜合性．