Question

【題目】如圖，拋物線與軸交于、兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），點(diǎn)的坐標(biāo)為，與軸交于點(diǎn)，作直線．動(dòng)點(diǎn)在軸上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)作軸，交拋物線于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．

（1）直接寫出拋物線的解析式__________和直線的解析式_________；

（2）當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直接寫出線段長度的最大值_________；

（3）當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，若是以為腰的等腰直角三角形時(shí)，求的值；

（4）當(dāng)以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求出的值．

Answer 1

【答案】（1）y=x2+2x+3，y=x+3；（2）；（3）m=2；（4）或

【解析】

(1)由A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式，則可求得B點(diǎn)坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法可求得直線BC的解析式；
(2)用m可分別表示出N、M的坐標(biāo)，則可表示出MN的長，再利用二次函數(shù)的最值可求得MN的最大值；
(3)由題意可得當(dāng)△CMN是以MN為腰的等腰直角三角形時(shí)則有MN=MC，且MC⊥MN，則可求表示出M點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋物線解析式可求得m的值；
(4)由條件可得出MN=OC，結(jié)合(2)可得到關(guān)于m的方程，可求得m的值．

解：(1)∵拋物線過A、C兩點(diǎn)，
∴代入拋物線解析式可得，解得，
∴拋物線解析式為y=x2+2x+3，
令y=0可得，x2+2x+3=0，解x1=1，x2=3，
∵B點(diǎn)在A點(diǎn)右側(cè)，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0)，
設(shè)直線BC解析式為y=kx+b，
把B、C坐標(biāo)代入可得，解得，
∴直線BC解析式為y=x+3,

故答案為y=x2+2x+3，y=x+3；
(2)∵PM⊥x軸，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，
∴M(m,m2+2m+3)，N(m,m+3)，
∵P在線段OB上運(yùn)動(dòng)，
∴M點(diǎn)在N點(diǎn)上方，
∴MN=m2+2m+3(m+3)=m2+3m=(m )2+ ，
∴∴當(dāng)m=時(shí)，MN有最大值，MN的最大值為，

故答案為；

(3)∵PM⊥x軸，
∴當(dāng)△CMN是以MN為腰的等腰直角三角形時(shí)，則有CM⊥MN，
∴M點(diǎn)縱坐標(biāo)為3，
∴m2+2m+3=3，解得m=0或m=2，
當(dāng)m=0時(shí)，則M、C重合，不能構(gòu)成三角形，不符合題意，舍去，
∴m=2；
(4)∵PM⊥x軸，
∴MN//OC，
當(dāng)以C、O、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，則有OC=MN，
當(dāng)點(diǎn)P在線段OB上時(shí)，則有MN=m2+3m，
∴m2+3m=3，此方程無實(shí)數(shù)根，
當(dāng)點(diǎn)P不在線段OB上時(shí)，則有MN=m+3(m2+2m+3)=m23m，
∴m23m=3，解得m=或m=，
綜上可知當(dāng)以C、O、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，m的值為或．