觀察下列各等式，并回答問題：
1
1×2
=1-
1
2
；
1
2×3
=
1
2
-
1
3
；
1
3×4
=
1
3
-
1
4
；
1
4×5
=
1
4
-
1
5
；…
（1）填空：
1
n(n+1)
=
 
（n是整數(shù)）；
（2）計算：
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+
1
4×5
+…+
1
8×9
.
解：原式=(1-
1
2
)+(
1
2
-
1
3
)+(
1
3
-
1
4
)+…+(
1
8
-
1
9
)=1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+
1
3
-
1
4
+…+
1
8
-
1
9
=1-
1
9
=
8
9

請同學們觀察上面解題過程后計算：
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+
1
4×5
+…+
1
2009×2010
.
分析：（1）首先觀察出等式左邊的式子分母是兩個連續(xù)自然數(shù)的乘積，分子是1，等式右邊的式子兩個分數(shù)的差，分母仍然是對應的兩個自然數(shù)，分子是1，由此得出一般規(guī)律；
（2）利用（1）的規(guī)律把算式展開就可以解答．
解答：解：（1）由
1
1×2
=1-
1
2
；
1
2×3
=
1
2
-
1
3
；
1
3×4
=
1
3
-
1
4
；
1
4×5
=
1
4
-
1
5
；
…
所以
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1
；

（2）
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+
1
4×5
+…+
1
2009×2010
.，
=1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+
1
3
-
1
4
+
1
4
-
1
5
+…+
1
2009
-
1
2010
，
=1-
1
2010
，
=
2009
2010
．
點評：此題考查分母是連續(xù)自然數(shù)的乘積，分子是1的分數(shù)等于兩個對應自然數(shù)的倒數(shù)差：
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1
．
練習冊系列答案
相關習題

科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

觀察下列各等式，并回答問題：
1
1×2
=1-
1
2
；
1
2×3
=
1
2
-
1
3
；
1
3×4
=
1
3
-
1
4
；
1
4×5
=
1
4
-
1
5
；…
（1）填空：
1
n(n+1)
=
 
（n是正整數(shù)）；
（2）計算：
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+
1
4×5
+…+
1
2002×2003
．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

觀察下列各等式，并解答問題：
1
1×2
=1-
1
2
，
1
2×3
=
1
2
-
1
3
，
1
3×4
=
1
3
-
1
4
，
1
4×5
=
1
4
-
1
5
；…，以此類推，可得：
（1）
1
5×6
=___；
（2）
1
n(n+1)
=_____（n是正整數(shù)）
（3）計算：
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
2011×2012
．

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科目：初中數(shù)學 來源：2012-2013學年寧夏銀川四中七年級上學期期末考試數(shù)學試卷（帶解析） 題型：填空題

觀察下列各等式，并回答問題：
，，……
填空：           （n是正整數(shù)）；

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：解答題

觀察下列各等式，并回答問題：數(shù)學公式；數(shù)學公式；數(shù)學公式；數(shù)學公式；…
（1）填空：數(shù)學公式=______（n是正整數(shù)）；
（2）計算：數(shù)學公式…數(shù)學公式．

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