Question

二次函數(shù)圖象過A、C、B三點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)C在y軸正半軸上，且AB=OC．
（1）求C的坐標(biāo)；
（2）求二次函數(shù)的解析式，并求出函數(shù)最大值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)A．B兩點(diǎn)的坐標(biāo)及點(diǎn)C在y軸正半軸上，且AB=OC．求出點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，5）；
（2）設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax²+bx+c，把A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式，可求出a、b、c的值．

解答：解：（1）∵A（-1，0），B（4，0）
∴AO=1，OB=4，
AB=AO+OB=1+4=5，
∴OC=5，即點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，5）；

（2）解法1：設(shè)圖象經(jīng)過A、C、B三點(diǎn)的二次函數(shù)的解析式為y=ax²+bx+c
由于這個(gè)函數(shù)圖象過點(diǎn)（0，5），可以得到C=5，又由于該圖象過點(diǎn)（-1，0），（4，0），則：

a-b+5=0 16a+4b+5=0

，
解方程組，得

a=- 5 4 b= 15 4

∴所求的函數(shù)解析式為y=-

5

4

x²+

15

4

x+5
∵a=-

5

4

＜0
∴當(dāng)x=-

15 4

2×(- 5 4 )

=

3

2

時(shí)，y有最大值

4ac-b2

4a

=

4×(- 5 4 )×5-( 15 4 )2

4×(- 5 4 )

=

125

16

；

解法2：
設(shè)圖象經(jīng)過A、C、B二點(diǎn)的二次函數(shù)的解析式為y=a（x-4）（x+1）
∵點(diǎn)C（0，5）在圖象上，
∴把C坐標(biāo)代入得：5=a（0-4）（0+1），解得：a=-

5

4

，
∴所求的二次函數(shù)解析式為y=-

5

4

（x-4）（x+1）
∵點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是點(diǎn)A（-1，0），B（4，0），
∴線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（

3

2

，0），即拋物線的對(duì)稱軸為直線x=

3

2

∵a=-

5

4

＜0
∴當(dāng)x=

3

2

時(shí)，y有最大值y=-

5

4

(

3

2

-4)(

3

2

+1)=

125

16

．

點(diǎn)評(píng)：解答此題的關(guān)鍵是熟知二次函數(shù)的解析式為y=ax²+bx+c，頂點(diǎn)坐標(biāo)為x=-

b

2a

，y=

4ac-b2

4a

．