Question

如果二次函數(shù)y=ax²+2x+c的圖象的最高點(diǎn)是M（x₀，y₀），并且二次函數(shù)圖象過點(diǎn)P（1，

3

2

），若x取x₀±n（n=1，2，3…）時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)值為y₀-

1

2

n²．
（1）求二次函數(shù)的解析式并畫出圖象；
（2）若二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)為A、B，求△PAB的面積．

Answer 1

分析：（1）二次函數(shù)解析式只涉及兩個(gè)待定系數(shù)a，c．把x=1，y=

3

2

及由頂點(diǎn)x₀=-

1

a

，y₀=

ac-1

a

；得x=x₀±n=-

1

a

±n，y=y₀-

1

2

n²=

ac-1

a

-

1

2

n²．分別代入二次函數(shù)解析式即可；
（2）△PAB的面積=AB×點(diǎn)P的縱坐標(biāo)÷2．

解答：解：（1）將P（1，

3

2

），代入y=ax²+2x+c中得a+c+2=

3

2

，
并且a＜0，
∴x₀=-

1

a

，y₀=

4ac-4

4a

=

ac-1

a

，
∴y=ax²+2x+c=a（x+

1

a

）²+

ac-1

a

．
當(dāng)x=x₀±n時(shí)，y=y₀-

1

2

n²．
代入y=ax²+2x+c=a（x+

1

a

）²+

ac-1

a

得：y₀-

1

2

n²=a（x₀±n+

1

a

）²+

ac-1

a

，
整理得：an²+

1

2

n²=0，
解得：a=-

1

2

，
把a(bǔ)=-

1

2

代入a+c+2=

3

2

得：c=0，
∴y=-

1

2

x²+2x；

（2）由拋物線解析式可知A（0，0），B（4，0），又P（1，

3

2

），
∴S_△PAB=

1

2

×4×

3

2

=3．

點(diǎn)評：主要考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，涉及的字母多，運(yùn)算有一定難度，在確定了拋物線解析式后，可根據(jù)圖形及相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)求面積．