Question

（2012•豐臺區(qū)二模）小杰遇到這樣一個問題：如圖1，在?ABCD中，AE⊥BC于點E，AF⊥CD于點F，連接EF，△AEF的三條高線交于點H，如果AC=4，EF=3，求AH的長．
小杰是這樣思考的：要想解決這個問題，應(yīng)想辦法將題目中的已知線段與所求線段盡可能集中到同一個三角形中．他先后嘗試了翻折、旋轉(zhuǎn)、平移的方法，發(fā)現(xiàn)可以通過將△AEH平移至△GCF的位置（如圖2），可以解決這個問題．
請你參考小杰同學(xué)的思路回答：
（1）圖2中AH的長等于

7

．
（2）如果AC=a，EF=b，那么AH的長等于

a2-b2

．

Answer 1

分析：（1）連接EG，先判定四邊形AECG是矩形，然后根據(jù)矩形的對角線相等可得EG=AC，再根據(jù)平移可得GF⊥EF，然后在Rt△EFG中，利用勾股定理列式進行計算即可得解；
（2）根據(jù)（1）的計算，把AC、EF的長度代入進行計算即可得解．

解答：解：（1）如圖，連接EG，
∵AE⊥BC于點E，△GCF由△AEH平移得到，
∴CG∥AE，
又∵?ABCD的邊AD∥BC，AE⊥BC
∴四邊形AECG是矩形，
∴EG=AC=4，
∵AH⊥EF，GF是由AH平移得到，
∴GF⊥EF，
在Rt△EFG中，GF=

EG2-EF2

=

42-32

=

7

，
即AH=

7

；

（2）根據(jù)（1）的計算，AH=GF=

EG2-EF2

=

a2-b2

．
故答案為：

7

，

a2-b2

．

點評：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，平移的性質(zhì)，連接EG，證明出四邊形AECG是矩形，從而得到EG=AC是解題的關(guān)鍵．