Question

對于正數x，規(guī)定f（x）=

x2

1+x2

．
（1）計算f（2）=

4

5

，f（

1

2

）=

1

5

，f（2）+f（

1

2

）=

1

，f（3）+f（

1

3

）=

1

，…；
（2）猜想f（x）+f(

1

x

)=

1

，請予以證明．
（3）現(xiàn)在你會計算f(

1

2012

)+f(

1

2011

)+f(

1

2010

)+…f（

1

3

）+f（

1

2

）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2010）+f（2011）+f（2012）的值了嗎，寫出你的計算過程．

Answer 1

分析：（1）把x的值代入規(guī)定的分式計算即可；
（2）由（1）猜想一般結論，把

1

x

代替規(guī)定算式中的x，進行分式加減運算即可；
（3）根據（2）得出的規(guī)律，分組計算．

解答：解：（1）由規(guī)定運算可知，f（2）=

22

1+22

=

4

5

，f（

1

2

）=

( 1 2 )2

1+( 1 2 )2

=

1

5

，
則f（2）+f（

1

2

）=

4

5

+

1

5

=1，f（3）+f（

1

3

）=

32

1+32

+

( 1 3 )2

1+( 1 3 )2

=

9

10

+

1

10

=1，
故答案為：

4

5

，

1

5

，1，1；

（2）f（x）+f（

1

x

）=

x2

1+x2

+

( 1 x )2

1+( 1 x )2

=

x2

1+x2

+

1

x2+1

=1，
故答案為：1；

（3）f（

1

2012

）+f（

1

2011

）+f（

1

2010

）+…+f（

1

3

）+f（

1

2

）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2010）+f（2011）+f（2012）
=f（1）+[f（

1

2

）+f（2）]+[f（

1

3

）+f（3）+]+…+[f（

1

2012

）+f（2012）]
=

1

2

+1+1+…+1=2011

1

2

．

點評：本題考查了分式的加減法．分式的加減運算中，如果是同分母分式，那么分母不變，把分子直接相加減即可；如果是異分母分式，則必須先通分，把異分母分式化為同分母分式，然后再相加減．