Question

【題目】在正方形ABCD中，AB＝8，AC與BD相交于點(diǎn)O．

（1）如圖，作射線OM與邊BC相交于點(diǎn)E，將射線OM繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到射線ON，射線ON與邊AB相交于點(diǎn)F，連接EF交BO于點(diǎn)G．

①直接寫(xiě)出四邊形OEBF的面積是_______.

②求證：△OEF是等腰直角三角形.

③若OG＝，求OE的長(zhǎng).

（2）點(diǎn)P在射線CA上一點(diǎn)，若BP＝2，射線PM與直線BC相交于點(diǎn)E，當(dāng)CE＝2時(shí)，將射線PM繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，得到射線PN，射線PN與直線BC相交于點(diǎn)F，請(qǐng)直接寫(xiě)出BF的長(zhǎng)________．

Answer 1

【答案】（1）①16；②證明見(jiàn)解析；③5；（2）或．

【解析】

（1）①根據(jù)正方形的性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，利用“ASA”可證△BOF≌△COE，可得S△BFO＝S△CEO，即可求解；②由全等三角形的性質(zhì)可得OE＝OF，即可得結(jié)論；③由面積關(guān)系可求S△EFO＝×S四邊形OEBF＝即可求OE的長(zhǎng)；（2）過(guò)點(diǎn)P作PH⊥BC于H，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥AC于點(diǎn)G，分兩種情況討論，由正方形的性質(zhì)和勾股定理可求PH＝10，通過(guò)證明△PFH∽△PEG，可得，即可求解．

（1）①∵四邊形ABCD是正方形，

∴AO＝BO＝CO，AB＝BC＝8，∠ABO＝∠BCO＝45°，BD⊥AC，

∴AC＝8，

∴OA＝OC＝OB＝4，

∵將射線OM繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到射線ON，

∴∠FOE＝90°＝∠BOC，

∴∠FOE-∠BOE=∠BOC-∠BOE，即∠BOF＝∠COE，

在△BOF和△COE中，，

∴△BOF≌△COE（ASA）

∴S△BFO＝S△CEO，

∴四邊形OEBF的面積＝S△OBC＝×4×4＝16，

故答案為16；

②∵△BOF≌△COE，

∴OE＝OF，

∵∠EOF＝90°，

∴△OEF是等腰直角三角形.

③∵OG＝，OB＝4，

∴BG＝，

∴S△BFG：S△FGO＝BG：GO＝7：25，S△BEG：S△EGO＝BG：GO＝7：25，

∴S△BEF：S△EFO＝7：25，

∵S四邊形OEBF=16，

∴S△EFO＝×S四邊形OEBF＝，

∵△OEF是等腰直角三角形，

∴OE2＝，

∴OE＝5.

（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥BC于H，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥AC于點(diǎn)G，

∵∠ACB＝45°，PH⊥BC，

∴∠HPC＝∠PCH＝45°，

∴PH＝HC，

∵PB2＝PH2+BH2，

∴4×26＝PH2+（PH﹣8）2，

∴PH＝10，PH＝﹣2（舍去），

∴PH＝CH＝10，

∴HB＝2，PC＝=10，

∵EC＝2，EG⊥AC，∠ACB＝45°，

∴GC＝GE=，

∴PG＝PC-GC=9，

∵∠FPE＝45°＝∠HPC，

∴∠FPH＝∠EPG，且∠PHF＝∠PGE，

∴△PFH∽△PEG，

∴，

∴，

∴HF＝，

∴BF＝HB+HF=2+＝；

當(dāng)點(diǎn)E在BC延長(zhǎng)線上時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥BC于H，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥AC于點(diǎn)G，

同理可得：PH＝10，EG＝CG＝，PC=10，△PFH∽△PEG，

∴，PG=PC+GC=10+=11，

∴，

∴FH＝，

∴BF＝BH-FH=2﹣＝，

綜上所述：BF的長(zhǎng)為：或，

故答案為：或