Question

21、（1）請你寫出不超過30的自然數(shù)中的質(zhì)數(shù)之和．
（2）請回答，千位數(shù)是1的四位偶自然數(shù)共有多少個？
（3）一個四位偶自然數(shù)的千位數(shù)字是1，當它分別被四個不同的質(zhì)數(shù)去除時，余數(shù)也都是1，試求出滿足這些條件的所有自然數(shù)，其中最大的一個是多少？

Answer 1

分析：（1）列舉出所有小于30的質(zhì)數(shù)，再求出這些質(zhì)數(shù)的和即可；
（2）根據(jù)千位數(shù)是1的四位自然數(shù)中奇數(shù)與偶數(shù)相等即可解答；
（3）設滿足題設性質(zhì)的自然數(shù)為x，則x的千位數(shù)字是1，個位數(shù)字是偶數(shù)碼，又設質(zhì)數(shù)p₁＜p₂＜p₃＜p₄，則依題意有x=kp₁p₂p₃p₄+1①，其中k為自然數(shù)，再分別把p₁=2、3、5、7、11、13、17、19、23代入求出x的值，找出符合條件的自然數(shù)即可．

解答：解：（1）不超過30的質(zhì)數(shù)和為
2+3+5+7+11+13+17+19+23+29=129；
（2）千位數(shù)是1的四位自然數(shù)中最小為1000最大為1999．共連續(xù)1000個自然數(shù)．其中有500個是偶數(shù)．所以千位數(shù)是1的四位偶自然數(shù)共有500個；
（3）設滿足題設性質(zhì)的自然數(shù)為x，則x的千位數(shù)字是1，個位數(shù)字是偶數(shù)碼．
又設質(zhì)數(shù)p₁＜p₂＜p₃＜p₄，則依題意有x=kp₁p₂p₃p₄+1①，其中k為自然數(shù)．
若p₁=2，則kp₁p₂p₃p₄+1為奇數(shù)，與x為偶數(shù)不符．所以p₁，p₂，p₃，p₄均為奇質(zhì)數(shù)．
設p₁=3，p₂=5，p₃=7，p₄=11，有3×5×7×11=1155，所以k=1．
而p₁=3，p₂=5，p₃=11，p₄=13時3×5×11×13=2145＞1999．
所以p₁=3，p₂=5，p₃=7是①中p₁，p₂，p₃的唯一取值法．這樣一來，只須再對p₄討論：
當p₄=11時，x₁=3×5×7×11+1=1156．
當p₄=13時，x₂=3×5×7×13+1=1366．
當p₄=17時，x₃=3×5×7×17+1=1786．
當p₄=19時，x₄=3×5×7×19+1=1996．
而當p₄=23時，x₅=3×5×7×23+1＞2000不合要求．
所以，滿足題設條件的自然數(shù)共四個，它們是1156，1366，1786，1996．
其中最大的一個是1996．

點評：本題考查的是質(zhì)數(shù)與合數(shù)、自然數(shù)、奇數(shù)與偶數(shù)的定義，是一道難度較大的題目．