【題目】如圖,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,E是對(duì)角線AC上任意一點(diǎn),F(xiàn)是線段BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn),且CF=AE,連接BE、EF.

(1)如圖1,當(dāng)E是線段AC的中點(diǎn),且AB=2時(shí),求△ABC的面積;
(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E不是線段AC的中點(diǎn)時(shí),求證:BE=EF;
(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)E是線段AC延長(zhǎng)線上的任意一點(diǎn)時(shí),(2)中的結(jié)論是否成立?若成立,請(qǐng)給予證明;若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】
(1)

解:∵四邊形ABCD是菱形,∠ABC=60°,

∴△ABC是等邊三角形,又E是線段AC的中點(diǎn),

∴BE⊥AC,AE= AB=1,

∴BE= ,

∴△ABC的面積= ×AC×BE= ;


(2)

解:如圖2,作EG∥BC交AB于G,

∵△ABC是等邊三角形,

∴△AGE是等邊三角形,

∴BG=CE,

∵EG∥BC,∠ABC=60°,

∴∠BGE=120°,

∵∠ACB=60°,

∴∠ECF=120°,

∴∠BGE=∠ECF,

在△BGE和△ECF中,

,

∴△BGE≌△ECF,

∴EB=EF;


(3)

解:如圖3,作EH∥BC交AB的延長(zhǎng)線于H,

∵△ABC是等邊三角形,

∴△AHE是等邊三角形,

∴BH=CE,

在△BHE和△ECF中,

,

∴△BHE≌△ECF,

∴EB=EF.


【解析】(1)根據(jù)菱形的性質(zhì)證明△ABC是等邊三角形和AB=2,求出△ABC的面積;(2)作EG∥BC交AB于G,證明△BGE≌△ECF,得到BE=EF;(3)作EH∥BC交AB的延長(zhǎng)線于H,證明△BHE≌△ECF,得到BE=EF.
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用菱形的性質(zhì),掌握菱形的四條邊都相等;菱形的對(duì)角線互相垂直,并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角;菱形被兩條對(duì)角線分成四個(gè)全等的直角三角形;菱形的面積等于兩條對(duì)角線長(zhǎng)的積的一半即可以解答此題.

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A.1個(gè)
B.2個(gè)
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