【題目】已知:如圖1,△ABC中,∠ACB=90°,CDABD,EBC中點(diǎn),CFAEF

1)求證:4CE2=BDAB;

2)若2DCF=ECF,求cosECF的值;

3)如圖2,DF延長線交BCG,若AC=BC,EG=1,則DG=   

【答案】1)證明見解析;(2;(3

【解析】

1)利用兩組對(duì)應(yīng)角分別相等的兩個(gè)三角形相似可得△BCA∽△BDC,由相似三角形對(duì)應(yīng)線段成比例的性質(zhì)可得結(jié)論;

(2)過BBGBCAE的延長線于G,在AE上取H,使HA=HB,利用ASA可證△ACEGBE,由全等三角形的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)可得BH=BG=HA,設(shè)AH=BH=BG=aHE=b,作MBHG,可用含的代數(shù)式表示出EGHMMG,由射影定理可得的關(guān)系式,根據(jù)cosECF=cosG=計(jì)算即可;

3)連接DE,延長DG、AC相交于H,由等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)及三角形中位線的性質(zhì)可得DE=AC,等量代換可得GC長,易知EC長,由等腰直角三角形的性質(zhì)可得DE長,由勾股定理即可求出DG.

解:(1)∵CDABD,

∴∠BDC=ACB=90°.

∵∠DBC=ACB,

∴△BCA∽△BDC,

,

BC2=BDAB

EBC中點(diǎn),

BC=2CE,

4CE2=BDAB;

2)如圖1,過BBGBCAE的延長線于G,在AE上取H,使HA=HB

∵∠BEG=AEC,∠EBG=ACE=90°,BE=EC,

∴△ACEGBE(ASA),

∴∠G=EACBG=AC,

CDABDCFAEF,

∴∠DCF=DAF,∠ECF=FAC=G,

∴∠BFG=2DAC=FAC=G

BH=BG=HA

設(shè)AH=BH=BG=a,HE=b,

MBHG,則MH=MG,EG=a+b,HM=MG=b+a

由射影定理可得,∴,

解得:a=(負(fù)值已舍),∴

3)如圖2,連接DE,延長DG、AC相交于H,

由射影定理知

AC=BC,CDAB

AD=BD,

DEAH,

DE=AC,,

,即

DE=CH,

,

EG=GC,

GC=2

EC=3=BE=DE,

中,根據(jù)勾股定理得DG=,

DG=

故答案為:

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(1)如圖1,當(dāng)α=30°時(shí),求證:BC=DE

(2)連接BE、DE′,當(dāng)BE=DE′時(shí),請(qǐng)用圖2求α的值;

(3)如圖3,點(diǎn)PAB的中點(diǎn),點(diǎn)Q為線段BE′上任意一點(diǎn),試探究,在此旋轉(zhuǎn)過程中,線段PQ長度的取值范圍為   

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A.6B.7C.D.12

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1)求樣本容量及表格中、的值;

2)請(qǐng)補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖;

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