【題目】如圖1,直角△ABC中,∠ABC=90°,AB是⊙O的直徑,⊙O交AC于點D,過點D的直線交BC于點E,交AB的延長線于點P,且∠A=∠PDB.
(1)求證:PD是⊙O的切線;
(2)如圖2,點M是 的中點,連接DM,交AB于點N,若tan∠A= ,求 的值.
【答案】
(1)解:連結(jié)OD;
∵AB是⊙O的直徑,
∴∠ADB=90°,OA=OB,∠A+∠ABD=90°;
又∵OA=OB=OD,
∴∠ADO=∠A,∠BDO=∠ABD;
又∵∠A=∠PDB,
∴∠PDB+∠BD0=90°,
即∠PDO=90°,且D在圓上,
∴PD是⊙O的切線;
(2)解:連結(jié)OM,過D作DF⊥AB于F;
∵點M是 的中點,
∴OM⊥AB;設BD=x,
∵tan∠A= = ,
∴AD=4x;由勾股定理得:
AB= = x;由三角形的面積公式得: ADBD= ABDF,
∴DF= x,
∵OM∥DF,
∴△OMN∽△FDN,
∴ = = .
【解析】(1)連結(jié)OD;由AB是⊙O的直徑,得到ADB=90°,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ADO=∠A,∠BDO=∠ABD;得到∠PDO=90°,且D在圓上,于是得到結(jié)論;(2)連結(jié)OM,過D作DF⊥AB于F;由點M是 的中點,得到OM⊥AB;設BD=x,根據(jù)已知條件得到AD=4x;由勾股定理得到AB= = x;根據(jù)三角形的面積公式解方程得到DF= x,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.
【考點精析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)和解直角三角形的相關知識點,需要掌握相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等)的比等于相似比;相似三角形周長的比等于相似比;相似三角形面積的比等于相似比的平方;解直角三角形的依據(jù):①邊的關系a2+b2=c2;②角的關系:A+B=90°;③邊角關系:三角函數(shù)的定義.(注意:盡量避免使用中間數(shù)據(jù)和除法)才能正確解答此題.
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【題目】下列語句中正確的是( )
A.兩個三角形的面積相等,那么這兩個三角形全等
B.三個內(nèi)角對應相等的兩個三角形全等
C.兩個等腰直角三角形全等,那么它們的斜邊相等
D.兩邊及其中一邊所對的角對應相等的兩個三角形全等
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【題目】如圖是明明設計的智力拼圖玩具的一部分,現(xiàn)在明明遇到了兩個問題,請你幫助解決:
問題1:∠D=32°,∠ACD=60°,為保證AB∥DE,則∠A等于多少度?
問題2:∠G,∠GFH,∠H之間有什么樣的關系時,GP∥HQ?
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【題目】已知三條不同的直線a,b,c在同一平面內(nèi),下列說法正確的個數(shù)是( )
①如果a∥b,a⊥c,那么b⊥c; ②如果b∥a,c∥a,那么b∥c;
③如果b⊥a,c⊥a,那么b⊥c; ④如果b⊥a,c⊥a,那么b∥c.
A,1個 B.2個 C.3個 D.4個
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【題目】在矩形ABCD中,AD=2AB=4,E是AD的中點,一塊足夠大的三角板的直角頂點與點E重合,將三角板繞點E旋轉(zhuǎn),三角板的兩直角邊分別交AB,BC(或它們的延長線)于點M,N.
(1)觀察圖1,直接寫出∠AEM與∠BNE的關系是;(不用證明)
(2)如圖1,當M、N都分別在AB、BC上時,可探究出BN與AM的關系為:;(不用證明)
(3)如圖2,當M、N都分別在AB、BC的延長線上時,(2)中BN與AM的關系式是否仍然成立?若成立,請說明理由:若不成立,寫出你認為成立的結(jié)論,并說明理由.
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【題目】如圖,在¨ABCD中,過點D作DE⊥AB與點E,點F在邊CD上,DF=BE,連接AF,BF
(1)求證:四邊形BFDE是矩形;
(2)若CF=3,BF=4,DF=5,求證:AF平分∠DAB.
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【題目】如圖,直線y=kx+b經(jīng)過點A(5,0),B(1,4).
(1)求直線AB的表達式;
(2)若直線y=2x-4與直線AB相交于點C,求點C的坐標;
(3)根據(jù)圖象,寫出關于x的不等式kx+b>2x-4>0的解集.
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【題目】今年4月,我市某中學舉行了“愛我中國朗誦比賽”活動,根據(jù)學生的成績劃分為A、B、C、D四個等級,并繪制了如下兩種不完整的統(tǒng)計圖.根據(jù)圖中提供的信息,回答下列問題:
(1)參加朗誦比賽的學生共有人,并把條形統(tǒng)計圖補充完整;
(2)扇形統(tǒng)計圖中,m= , n=;C等級對應扇形的圓心角為度;
(3)學校準備從獲A等級的學生中隨機選取2人,參加市舉辦的朗誦比賽,請利用列表法或樹形圖法,求獲A等級的小明參加市朗誦比賽的概率.
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