【題目】(問題情境)

張老師給愛好學(xué)習(xí)的小軍和小俊提出這樣的一個問題:如圖1,在ABC中,ABAC,點P為邊BC上任一點,過點PPDABPEAC,垂足分別為DE,過點CCFAB,垂足為F,求證:PD+PECF

小軍的證明思路是:如圖2,連接AP,由ABPACP面積之和等于ABC的面積可以證得:PD+PECF

小俊的證明思路是:如圖2,過點PPGCF,垂足為G,可以證得:PDGFPECG,則PD+PECF

[變式探究]

如圖3,當(dāng)點PBC延長線上時,其余條件不變,求證:PDPECF;

請運用上述解答中所積累的經(jīng)驗和方法完成下列兩題:

[結(jié)論運用]

如圖4,將矩形ABCD沿EF折疊,使點D落在點B上,點C落在點C處,點P為折痕EF上的任一點,過點PPGBE、PHBC,垂足分別為G、H,若AD8,CF3,求PG+PH的值;

[遷移拓展]

5是一個航模的截面示意圖.在四邊形ABCD中,EAB邊上的一點,EDADECCB,垂足分別為D、C,且ADCEDEBCAB2dm,AD3dmBDdmM、N分別為AEBE的中點,連接DMCN,求DEMCEN的周長之和.

【答案】小軍的證明:見解析;小俊的證明:見解析;[變式探究]見解析;[結(jié)論運用]PG+PH的值為4;[遷移拓展](6+2dm

【解析】

小軍的證明:連接AP,利用面積法即可證得;

小俊的證明:過點PPGCF,先證明四邊形PDFG為矩形,再證明△PGC≌△CEP,即可得到答案;

[變式探究]小軍的證明思路:連接AP,根據(jù)SABCSABPSACP,即可得到答案;

小俊的證明思路:過點C,作CGDP,先證明四邊形CFDG是矩形,再證明△CGP≌△CEP即可得到答案;

[結(jié)論運用] 過點EEQBC,先根據(jù)矩形的性質(zhì)求出BF,根據(jù)翻折及勾股定理求出DC,證得四邊形EQCD是矩形,得出BEBF即可得到答案;

[遷移拓展]延長AD,BC交于點F,作BHAF,證明△ADE∽△BCE得到FA=FB,設(shè)DHx,利用勾股定理求出x得到BH6,再根據(jù)∠ADE=∠BCE90°,且MN分別為AE,BE的中點即可得到答案.

小軍的證明:

連接AP,如圖②

PDAB,PEACCFAB,

SABCSABP+SACP

AB×CFAB×PD+AC×PE,

ABAC

CFPD+PE

小俊的證明:

過點PPGCF,如圖2

PDAB,CFABPGFC,

∴∠CFD=∠FDG=∠FGP90°

∴四邊形PDFG為矩形,

DPFG,∠DPG90°,

∴∠CGP90°,

PEAC

∴∠CEP90°,

∴∠PGC=∠CEP

∵∠BDP=∠DPG90°,

PGAB

∴∠GPC=∠B,

ABAC,

∴∠B=∠ACB

∴∠GPC=∠ECP,

PGCCEP

∴△PGC≌△CEP,

CGPE

CFCG+FGPE+PD;

[變式探究]

小軍的證明思路:連接AP,如圖③,

PDABPEAC,CFAB

SABCSABPSACP,

AB×CFAB×PDAC×PE

ABAC,

CFPDPE;

小俊的證明思路:

過點C,作CGDP,如圖③,

PDABCFAB,CGDP

∴∠CFD=∠FDG=∠DGC90°,

CFGD,∠DGC90°,四邊形CFDG是矩形,

PEAC,

∴∠CEP90°

∴∠CGP=∠CEP,

CGDPABDP,

∴∠CGP=∠BDP90°

CGAB,

∴∠GCP=∠B

ABAC,

∴∠B=∠ACB

∵∠ACB=∠PCE,

∴∠GCP=∠ECP

CGPCEP中,

∴△CGP≌△CEP,

PGPE,

CFDGDPPGDPPE

[結(jié)論運用]

如圖④

過點EEQBC,

∵四邊形ABCD是矩形,

ADBC,∠C=∠ADC90°

AD8,CF3,

BFBCCFADCF5

由折疊得DFBF,∠BEF=∠DEF

DF5,

∵∠C90°

DC4,

EQBC,∠C=∠ADC90°,

∴∠EQC90°=∠C=∠ADC

∴四邊形EQCD是矩形,

EQDC4

ADBC,

∴∠DEF=∠EFB

∵∠BEF=∠DEF,

∴∠BEF=∠EFB

BEBF,

由問題情景中的結(jié)論可得:PG+PHEQ

PG+PH4

PG+PH的值為4

[遷移拓展]

延長AD,BC交于點F,作BHAF,如圖⑤,

AD×CEDE×BC,

EDAD,ECCB

∴∠ADE=∠BCE90°,

∴△ADE∽△BCE

∴∠A=∠CBE,

FAFB

由問題情景中的結(jié)論可得:ED+ECBH,

設(shè)DHx

AHAD+DH3+x,

BHAF

∴∠BHA90°,

BH2BD2DH2AB2AH2

AB2,AD3BD,

∴(2x2=(22﹣(3+x2

x1,

BH2BD2DH237136

BH6,

ED+EC6

∵∠ADE=∠BCE90°,且M,N分別為AE,BE的中點,

DMEMAE,CNENBE

∴△DEMCEN的周長之和

DE+DM+EM+CN+EN+EC

DE+AE+BE+EC

DE+AB+EC

DE+EC+AB

6+2,

∴△DEMCEN的周長之和(6+2dm

練習(xí)冊系列答案
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與每件銷售價x(元)的關(guān)系數(shù)據(jù)如下:

x

30

32

34

36

y

40

36

32

28

(1)已知y與x滿足一次函數(shù)關(guān)系,根據(jù)上表,求出y與x之間的關(guān)系式(不寫出自變量x的取值范圍);

(2)如果商店銷售這種商品,每天要獲得150元利潤,那么每件商品的銷售價應(yīng)定為多少元?

(3)設(shè)該商店每天銷售這種商品所獲利潤為w(元),求出w與x之間的關(guān)系式,并求出每件商品銷售價定為多少元時利潤最大?

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1)設(shè)小明每月獲得利潤為w(元),求每月獲得利潤w(元)與銷售單價x(元)之間的函數(shù)關(guān)系式,并確定自變量x的取值范圍.

2)當(dāng)銷售單價定為多少元時,每月可獲得最大利潤?每月的最大利潤是多少?

3)如果小明想要每月獲得的利潤不低于2000元,那么小明每月的成本最少需要多少元?(成本=進(jìn)價×銷售量)

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