【題目】已知拋物線yx22mx+m23m是常數(shù))

1)證明:無論m取什么實數(shù),該拋物線與x軸都有兩個交點.

2)設拋物線的頂點為A,與x軸的兩個交點分別為B、D,點B在點D的右側(cè),與y軸的交點為 C

①若點P為△ABD的外心,求點P的坐標(用含m的式子表示);

②當|m|≤,m≠0時,△ABC的面積是否有最大值?如果有,請求出最大值;如果沒有,請說明理由.

【答案】1)證明見解析;(2)①P(m,-1);②有最大值;當m時,SABC最大3

【解析】

1)令y0,轉(zhuǎn)化成一元二次方程,計算判別式,可得判別式的值大于0,即可得出結(jié)論;

2)①先求出點A的坐標,再求出BD的長,進而得出BE的長,再利用勾股定理求出外接圓的半徑,即可得出結(jié)論;②先求出點B的坐標,點C的坐標,分兩種情況:(i)當0<m≤時,如圖2,(ii)當-≤m<0時,如圖3,分別得出Sm的函數(shù)關系式,即可得出結(jié)論.

1)令y0,則0x22mx+m23,

∴△=(﹣2m24m23)=120,

∴方程x22mx+m230有兩個不相等的實數(shù)根,

即:無論m取什么實數(shù),該拋物線與x軸都有兩個交點;

2)①如圖1

∵拋物線yx22mx+m23=(xm23,

A(m,﹣3),設點D(x1,0),B(x20),

x1+x22m,x1x2m23

BDx2x12,

過點A作平行于y軸的直線,交x軸于點E,則AEx軸,

∴∠AEB90°,

∵點A(m,﹣3)是拋物線的頂點,

AE3,BEBD,

P為△ABD的外心,

∴點PAE上,

連接BP,

設△ABD的外接圓的半徑為r,則APBPr

PEAEr3r,

∵在RtBEP中, PE2+BE2BP2

∴(3r2+(2r2,

r2,

PEAEAP1

P(m,-1);

②令y0,則x22mx+m230

x,

∵點B在點D的右側(cè),

B(m+,0),D(m-0),

x0,則ym23

C(0,m23),

分兩種情況考慮:

i)當0<m時,如圖2

SABC=S梯形OCAE+SABESOCB

= OE(OC+AE)+ AEBEOCOB

=m(3m2+3)+ ×3×(m+m) (3m2)(m+)

=m2+m

=m +2,

>0,

∴當0<m時,SABCm的增大而增大,

∴當m=時,SABC取得最大值,最大值為3;

(ii)-m<0時,如圖3,

SABC=S梯形EACO+SOCBSABE

=OE(OC+AE)+ OCOBAEBE

=m(3m2+3)+ (3m2)(m+) (m+m)(3m2)

=m,

<0,

∴當-m<0時,SABCm的增大而減小,

當m=-時,SABC取得最大值,最大值為

3,

∴當m=時,ABC的面積取得最大值,最大值為3

練習冊系列答案
相關習題

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,在半徑為4中,為直徑,弦且過半徑的中點,上一動點,于點,即點在以為直徑的圓上,當從點出發(fā)順時針運動到點時,點所經(jīng)過的路徑長為(

A.B.C.D.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖所示,在 10×6 的正方形網(wǎng)格中,每個小正方形的邊長均為 1,線段 AB 的端點 A、B 均在小正方形的頂點上.

1)在圖中畫出以 AB 為一腰的等腰ABC,點 C 在小正方形頂點上,ABC 為鈍角三角形,且ABC 的面積為;

2)在圖中畫出以 AB 為斜邊的直角三角形 ABD D在小正方形的頂點上,且 AD>BD;

3)連接 CD,請你直接寫出線段 CD 的長.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】在一節(jié)數(shù)學活動課上,王老師將本班學生身高數(shù)據(jù)(精確到1厘米)出示給大家,要求同學們各自獨立繪制一幅頻數(shù)分布直方圖,甲繪制的如圖①所示,乙繪制的如圖②所示,經(jīng)王老師批改,甲繪制的圖是正確的,乙在數(shù)據(jù)整理與繪圖過程中均有個別錯誤.

(1)寫出乙同學在數(shù)據(jù)整理或繪圖過程中的錯誤(寫出一個即可);

(2)甲同學在數(shù)據(jù)整理后若用扇形統(tǒng)計圖表示,則159.5﹣164.5這一部分所對應的扇形圓心角的度數(shù)為   ;

(3)該班學生的身高數(shù)據(jù)的中位數(shù)是   ;

(4)假設身高在169.5﹣174.5范圍的5名同學中,有2名女同學,班主任老師想在這5名同學中選出2名同學作為本班的正、副旗手,那么恰好選中一名男同學和一名女同學當正,副旗手的概率是多少?

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,直線yx+m與雙曲線y交于A,B兩點,作BCx軸,ACy軸,交BC于點C,則SABC的最小值是_____

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】為增強學生體質(zhì),各學校普遍開展了陽光體育活動,某校為了解全校1000名學生每周課外體育活動時間的情況,隨機調(diào)查了其中的50名學生,對這50名學生每周課外體育活動時間x(單位:小時)進行了統(tǒng)計.根據(jù)所得數(shù)據(jù)繪制了一幅不完整的統(tǒng)計圖,并知道每周課外體育活動時間在6≤x8小時的學生人數(shù)占24%.根據(jù)以上信息及統(tǒng)計圖解答下列問題:

1)本次調(diào)查樣本容量是   ;

2)請補全頻數(shù)分布直方圖中空缺的部分;

3)估計全校學生每周課外體育活動時間不少于6小時的人數(shù).

4)求這50名學生每周課外體育活動時間的平均數(shù).

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】一輛快車從甲地駛往乙地,一輛慢車從乙地駛往甲地,兩車同時出發(fā),勻速行駛.設行駛的時間為x(時),兩車之間的距離為y(千米),如圖中的折線表示從兩車出發(fā)至快車到達乙地過程中yx之間的函數(shù)關系.已知兩車相遇時快車比慢車多行駛40千米,若快車從甲地到達乙地所需時間為t時,則t的值為_____

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知,,為正整數(shù),.設,,為坐標原點.若,且

1)求圖象經(jīng)過,三點的二次函數(shù)的解析式;

2)點是拋物線上的一動點,直線交線段于點,若,的面積滿足,求此時點的坐標.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】甲、乙兩車同時從A城出發(fā)駛向B城,甲車到達B城后立即返回.如圖是它們離A城的距離y(千米)與行駛時間x(小時)之間的函數(shù)圖象.

1AB兩城之間的距離為_______km

2)求甲車行駛過程中yx之間的函數(shù)解析式,并寫出自變量x的取值范圍;

3)乙用8小時到達B城,求乙車速度及他們相遇的時間.

4)直接寫出兩車何時相距80km?

查看答案和解析>>

同步練習冊答案