Question

如圖，將邊長(zhǎng)為2cm的兩個(gè)互相重合的正方形紙片按住其中一個(gè)不動(dòng)，另一個(gè)繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度α（0°＜α＜90°），若兩正方形重疊部分的面積為

4

3

3

cm2，則這個(gè)旋轉(zhuǎn)角度為

 

度．

Answer 1

分析：設(shè)A′D′與CD的交點(diǎn)為E，連接BE；由于A′B=BC，易證得△A′BE≌△CBE，因此兩者的面積相等，即可根據(jù)△CBE的面積求得CE的值，從而通過(guò)解直角三角形求出∠CBE、∠CBA′的度數(shù)，進(jìn)而可求得旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)．

解答：解：設(shè)A′D′與CD的交點(diǎn)為E，連接BE．
∵A′B=BC，BE=BE，
∴Rt△A′BE≌Rt△CBE．（HL）
∴∠A′BE=∠EBC，且S_△BA′E=S_△BCE=

2 3

3

．
在Rt△BCE中，BC=2，則：
S_△BCE=

1

2

×2×CE=

2 3

3

，
∴CE=

2 3

3

．
∴tan∠EBC=

EC

BC

=

3

3

，即∠EBC=30°．
∴∠A′BC=2∠EBC=60°，∠ABA′=90°-∠A′BC=30°．
故旋轉(zhuǎn)的角度為30°．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)以及三角形的面積、解直角三角形等相關(guān)知識(shí)，綜合性較強(qiáng)．