Question

【題目】如圖1，四邊形為正方形，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸上，且， ，反比例函數(shù)在第一象限的圖象經(jīng)過正方形的頂點(diǎn)．

（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)和反比例函數(shù)的關(guān)系式．

（2）如圖2，將正方形沿軸向右平移 個(gè)單位長度時(shí)，點(diǎn)恰好落在反比例函數(shù)的圖象．

（3）在（2）的情況下，連接并延長，交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)，點(diǎn)是軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)、重合)

①當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為多少時(shí)，四邊形是矩形?請說明理由．

②過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，請問當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為多少時(shí)，與相似?(直接寫出答案)．

Answer 1

【答案】（1），；（2）3；（3）①見解析；②的坐標(biāo)為或或

【解析】

（1）過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，由全等三角形的判定定理可得出，再由全等三角形的性質(zhì)可求出的長，進(jìn)而得出點(diǎn)坐標(biāo)．把點(diǎn)坐標(biāo)代入反比例函數(shù)即可得出其解析式；

（2）根據(jù)可知，再把代入反比例函數(shù)的解析式求出的值即可；

（3）①先根據(jù)點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，再根據(jù)勾股定理求出的長，由矩形的對角線相等即可得出點(diǎn)坐標(biāo)；

②設(shè)，再根據(jù)與兩種情況進(jìn)行分類討論．

解：（1）如圖1所示，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則，

∵四邊形為正方形，

，，

，

又∵，

，

，

，，

，

點(diǎn)的坐標(biāo)為．

將代入，得，解得，

反比例函數(shù)的關(guān)系式為：；

（2）∵，

，

當(dāng)時(shí)，，

將正方形沿軸向右平移3個(gè)單位長度時(shí)，點(diǎn)恰好落在反比例函數(shù)的圖象上．

故答案為：3；

（3）①當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，四邊形是矩形．

理由如下：

∵由（2）知，，雙曲線上各點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，

∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，

，

，

又∵，

四邊形是平行四邊形，

又∵，

四邊形是矩形；

②∵，，

，

設(shè)，

當(dāng)時(shí)，，即，

解得：或，

，或，；

當(dāng)時(shí)，

∵，

，

，

故點(diǎn)的坐標(biāo)為，或，或．