Question

把兩個(gè)全等的等腰直角三角板ABC和EFG(其直角邊長均為4)疊放在一起(如圖①)，且使三角板EFG的直角頂點(diǎn)G與三角板ABC的斜邊中點(diǎn)O重合．現(xiàn)將三角板EFG繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)(旋轉(zhuǎn)角a滿足條件：＜a＜)，四邊形 CHGK是旋轉(zhuǎn)過程中兩三角板的重疊部分(如圖②)．

(1)在上述旋轉(zhuǎn)過程中，BH與CK有怎樣的數(shù)量關(guān)系？四邊形CHGK的面積有何變化？證明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論；

(2)連接HK，在上述旋轉(zhuǎn)過程中，設(shè)BH＝x，△GKH的面積為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；

(3)在(2)的前提下，是否存在某一位置，使△GKH的面積恰好等于△ABC面積的？若存在，求出此時(shí)x的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(l)在上述旋轉(zhuǎn)過程中，BH＝CK，四邊形CHGK的面積不變．證明：連結(jié)CG∵△ABC為等腰直角三角形，O(G)為其外邊中點(diǎn)，∴CG＝BG，CG⊥AB，∴∠ACG＝∠B＝，∵∠BGH與∠CGK均為旋轉(zhuǎn)角，∴∠BGH＝∠CGK，∴△BGH≌△CGK，∴BH＝CK，S△BGH＝S△CGK，∴S四邊形CHGK＝S△CHG＋S△CGK＝S△CHG＋S△BGH＝S△ABC＝××4×4＝4，即S四邊形CHGK的面積為4，是一個(gè)定值，在旋轉(zhuǎn)過程中沒有變化; 　　(2)∵AC＝BC＝4，BH＝x，∴CH＝4－x，CK＝x，由S△GHK＝S四邊形CHGK－S△CHK，得y＝4－x(4－x)，∴y＝x2－2x＋4，∵＜α＜，0＜x＜4; 　　(3)存在．根據(jù)題意得x2－2x＋4＝×8，解這個(gè)方程得x1＝1，x2＝3，即當(dāng)x＝1或x＝3時(shí)，△GHK的面積均等于△ABC面積的．