精英家教網(wǎng)把兩個全等的等腰直角三角形ABC和EFG(其直角邊長均為4)疊放在一起(如圖①),且使三角板EFG的直角頂點G與三角板ABC的斜邊中點O重合.現(xiàn)將三角板EFG繞O點逆時針旋轉(zhuǎn)(旋轉(zhuǎn)角α滿足條件:0°<α<90°),四邊形CHGK是旋轉(zhuǎn)過程中兩三角板的重疊部分(如圖②).
(1)在上述旋轉(zhuǎn)過程中,BH與CK有怎樣的數(shù)量關(guān)系四邊形CHGK的面積有何變化?證明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論;
(2)連接HK,在上述旋轉(zhuǎn)過程中,設(shè)BH=x,△GKH的面積為y,求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍;
(3)在(2)的前提下,是否存在某一位置,使△GKH的面積恰好等于△ABC面積的
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?若存在,求出此時x的值;若不存在,說明理由.
分析:(1)可將四邊形CHGK分成兩部分,然后通過證三角形全等,將四邊形的面積進(jìn)行轉(zhuǎn)換來求解.連接CG,可通過證明三角形CGK與三角形BGH全等來得出他們的面積相等,進(jìn)而將四邊形CHGK的面積轉(zhuǎn)換成三角形CGB的面積也就是三角形ABC面積的一半,由此可得出四邊形CHGK的面積是4,所以不會改變;
(2)連接HK后,根據(jù)(1)中得出的四邊形CHGK的面積為4,可根據(jù)三角形GHK的面積=四邊形CHGK的面積-三角形CHK的面積來求,如果BH=x,那么根據(jù)(1)的結(jié)果CK=x,有BC的長,那么CH=4-x,由此可得出關(guān)于x,y的函數(shù)關(guān)系式.x的取值范圍應(yīng)該大于零小于4;
(3)只需將y=
5
16
×8代入(2)的函數(shù)式中,可得出x的值.然后判斷x是否符合要求即可.
解答:解:(1)在上述旋轉(zhuǎn)過程中,BH=CK,四邊形CHGK的面積精英家教網(wǎng)不變.
證明:連接CG,KH,
∵△ABC為等腰直角三角形,O(G)為其斜邊中點,
∴CG=BG,CG⊥AB,
∴∠ACG=∠B=45°,
∵∠BGH與∠CGK均為旋轉(zhuǎn)角,
∴∠BGH=∠CGK,
在△BGH與△CGK中,
∠B=∠KCG
BG=CG
∠BGH=∠CGK

∴△BGH≌△CGK(ASA),
∴BH=CK,S△BGH=S△CGK
∴S四邊形CHGK=S△CHG+S△CGK=S△CHG+S△BGH=
1
2
S△ABC=
1
2
×
1
2
×4×4=4,
即:S四邊形CHGK的面積為4,是一個定值,在旋轉(zhuǎn)過程中沒有變化;

(2)∵AC=BC=4,Bk=x,
∴CH=4-x,CK=x.
由S△GHK=S四邊形CHGK-S△CHK
得y=4-
1
2
x(4-x),
∴y=
1
2
x2-2x+4.
由0°<α<90°,得到BH最大=BC=4,
∴0<x<4;

(3)存在.
根據(jù)題意,得
1
2
x2-2x+4=
5
16
×8,
解這個方程,得x1=1,x2=3,
即:當(dāng)x=1或x=3時,△GHK的面積均等于△ABC的面積的
5
16
點評:本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定等知識點,通過構(gòu)建全等三角形將面積進(jìn)行轉(zhuǎn)換是解題的關(guān)鍵.
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