Question

已知拋物線y=-x²+2mx-m²-m+3
（1）證明拋物線頂點一定在直線y=-x+3上；
（2）若拋物線與x軸交于M、N兩點，當OM•ON=3，且OM≠ON時，求拋物線的解析式；
（3）若（2）中所求拋物線頂點為C，與y軸交點在原點上方，拋物線的對稱軸與x軸交于點B，直線y=-x+3與x軸交于點A．點P為拋物線對稱軸上一動點，過點P作PD⊥AC，垂足D在線段AC上．試問：是否存在點P，使S_△PAD=

1

4

S_△ABC？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)拋物線的解析式，用配方法得出拋物線頂點的表達式，然后代入直線y=-x+3中即可得出所證的結論．
（2）已知：OM•ON=3，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系可知：方程0=-x²+2mx-m²-m+3中，m²-m+3=±3，據(jù)此可求出m的值，然后可根據(jù)OM≠ON和方程的△＞0將不合題意的m值舍去，由此可求出拋物線的解析式．
（3）可先根據(jù)拋物線和直線AC的解析式求出A、C點的坐標．進而可求出AC的長．可先設PD的長為x，那么可用x表示出CD，AD的長，進而可表示出△APD的面積，根據(jù)S_△PAD=

1

4

S_△ABC，即可得出x的值，也就能求出CD、PD的長，進而可求出CP的長，也就不難得出P點的坐標了．

解答：解：（1）y=-x²+2mx-m²-m+3=-（x-m）²-m+3，
∴頂點坐標為（m，-m+3），
∴頂點在直線y=-x+3上．

（2）∵拋物線與x軸交于M、N兩點，
∴△＞0，
即：（2m）²-4（m²+m-3）＞0，
解得：m＜3，
∵OM•ON=3，
∴m²+m-3=±3，
當m²+m-3=-3時，m²+m=0，
∴m=0，m=-1，
∴當m=0時，y₁=-x²+3（與OM≠ON矛盾，舍），
∴m=-1，y₁=-x²-2x+3，
當m²+m-3=3時，m²+m-6=0，
∴m=2，m=-3，
∴y₂=-x²+4x-3，y₃=-x²-6x-3．

（3）∵拋物線與y軸交點在原點的上方
∴y=-x²-2x+3，
∴C（-1，4），B（-1，0），
∵直線y=-x+3與x軸交于點A，
∴A（3，0），
∵BA=BC，
∴∠PCD=45°，
∴設PD=DC=x，
則PC=

2

x，AD=4

2

-x，
∵S_△PAD=

1

4

S_△ABC，
∴

1

2

（4

2

-x）•x=

1

4

×

1

2

×4×4，x²-4

2

x+4=0；
解得：x=2

2

±2；
當x=2

2

+2時，PC=

2

x=4+2

2

，
∴4-y_P=4+2

2

，
∴y_P=-2

2

，
∴P（-1，-2

2

），
當x=2

2

-2時，PC=4-2

2

，
∴y_P=2

2

，
∴P（-1，2

2

），
∴P（-1，2

2

）或P（-1，-2

2

）．

點評：本題主要考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關系，一元二次方程根與系數(shù)的關系，二次函數(shù)解析式的確定，圖形面積的求法等知識點．考查學生數(shù)形結合的數(shù)學思想方法．