Question

（本題滿(mǎn)分9分）如圖①，小慧同學(xué)把一個(gè)正三角形紙片（即△OAB）放在直線(xiàn)l₁上，OA邊與直線(xiàn)l₁重合，然后將三角形紙片繞著頂點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)120°，此時(shí)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)O₁處，點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)B₁處；小慧又將三角形紙片AO₁B₁繞點(diǎn)B₁按順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)120°，此時(shí)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)A₁處，點(diǎn)O₁運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)O₂處（即頂點(diǎn)O經(jīng)過(guò)上述兩次旋轉(zhuǎn)到達(dá)O₂處）．
小慧還發(fā)現(xiàn)：三角形紙片在上述兩次旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，頂點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)所形成的圖形是兩段
圓弧，即和，頂點(diǎn)O所經(jīng)過(guò)的路程是這兩段圓弧的長(zhǎng)度之和，并且這兩段圓弧
與直線(xiàn)l₁圍成的圖形面積等于扇形AOO₁的面積、△AO₁B₁的面積和扇形B₁O₁O₂的面積之
和．
小慧進(jìn)行類(lèi)比研究：如圖②，她把邊長(zhǎng)為1的正方形紙片OABC放在直線(xiàn)l₂上，OA
邊與直線(xiàn)l₂重合，然后將正方形紙片繞著頂點(diǎn)^按順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)90°，此時(shí)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到
了點(diǎn)O₁處（即點(diǎn)B處），點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)C₁處，點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)B₁處；小慧又將正方形
紙片AO₁C₁B₁繞頂點(diǎn)B₁按順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)90°，……，按上述方法經(jīng)過(guò)若干次旋轉(zhuǎn)后．她
提出了如下問(wèn)題：
問(wèn)題①：若正方形紙片OABC接上述方法經(jīng)過(guò)3次旋轉(zhuǎn)，求頂點(diǎn)O經(jīng)過(guò)的路程，并
求頂點(diǎn)O在此運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所形成的圖形與直線(xiàn)l₂圍成圖形的面積；若正方形紙片OA BC
按上述方法經(jīng)過(guò)5次旋轉(zhuǎn)，求頂點(diǎn)O經(jīng)過(guò)的路程；
問(wèn)題②：正方形紙片OABC按上述方法經(jīng)過(guò)多少次旋轉(zhuǎn)，頂點(diǎn)O經(jīng)過(guò)的路程是
?
請(qǐng)你解答上述兩個(gè)問(wèn)題．

Answer 1

解：?jiǎn)栴}①：如圖，正方形紙片經(jīng)過(guò)3次旋轉(zhuǎn)，頂點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)所形成的圖形是三段圓弧，
所以頂點(diǎn)O在此運(yùn)動(dòng)過(guò)程中經(jīng)過(guò)的路程為。
頂點(diǎn) O在此運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所形成的圖形與直線(xiàn)圍成圖形的面積為。
正方形紙片經(jīng)過(guò)5次旋轉(zhuǎn)，頂點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)經(jīng)過(guò)的路程為：。
問(wèn)題②：∵ 正方形紙片每經(jīng)過(guò)4次旋轉(zhuǎn)，頂點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)經(jīng)過(guò)的路程均為：。
又，而是正方形紙片第4+1次旋轉(zhuǎn)，頂點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)經(jīng)過(guò)的路程。
∴正方形紙片OABC按上述方法經(jīng)過(guò)81次旋轉(zhuǎn)，頂點(diǎn)O經(jīng)過(guò)的路程是

略