【題目】如圖1,點(diǎn)B在直線l上,過(guò)點(diǎn)B構(gòu)建等腰直角三角形ABC,使∠BAC=90°,且AB=AC,過(guò)點(diǎn)C作CD⊥直線l于點(diǎn)D,連接AD.
(1)小亮在研究這個(gè)圖形時(shí)發(fā)現(xiàn),∠BAC=∠BDC=90°,點(diǎn)A,D應(yīng)該在以BC為直徑的圓上,則∠ADB的度數(shù)為 °,將射線AD順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°交直線l于點(diǎn)E,可求出線段AD,BD,CD的數(shù)量關(guān)系為 ;
(2)小亮將等腰直角三角形ABC繞點(diǎn)B在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn),當(dāng)旋轉(zhuǎn)到圖2位置時(shí),線段AD,BD,CD的數(shù)量關(guān)系是否變化,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,若CD長(zhǎng)為1,當(dāng)△ABD面積取得最大值時(shí),請(qǐng)直接寫AD的長(zhǎng).
【答案】(1)45°,CD+DB=AD;(2)線段AD,BD,CD的數(shù)量關(guān)系會(huì)變化,數(shù)量關(guān)系為BD﹣CD=AD.證明見(jiàn)解析;(3)1+.
【解析】
(1)由∠BAC=90°,且AB=AC,可得∠ACB=∠ABC=45°,由∠BAC=∠BDC=90°,推出A、B、C、D四點(diǎn)共圓,所以∠ADB=∠ACB=45°;由題意知△EAB≌△DAC,所以BE=CD,由AE=AD,∠EAD=90°,可知△ADE是等腰直角三角形,推出CD+DB=EB+BD=DE=AD;
(2)如圖2,將AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°交直線l于點(diǎn)E.易證△EAB≌△DAC(SAS),則BE=CD,由AE=AD,∠EAD=90°,所以△ADE是等腰直角三角形,則DE=AD,由BDCD=BDBE=DE,推出BDCD=AD;
(3)當(dāng)點(diǎn)D在線段AB的垂直平分線上且在AB的左側(cè)時(shí),△ABD的面積最大,據(jù)此即可求解.
解:(1)①如圖,在圖1中.
∵∠BAC=90°,且AB=AC,
∴∠ACB=∠ABC=45°,
∵∠BAC=∠BDC=90°,
∴A、B、C、D四點(diǎn)共圓,
∴∠ADB=∠ACB=45°;
②由題意可知,∠EAD=∠BAC=90°,
∴∠EAB=∠DAC,
又AE=AD,AB=AC,
∴△EAB≌△DAC(SAS),
∴BE=CD,
∵AE=AD,∠EAD=90°,
∴△ADE是等腰直角三角形,
∴DE==AD,
∵CD+DB=EB+BD=DE,
∴CD+DB=AD;
故答案為45°;CD+DB=AD;
(2)線段AD,BD,CD的數(shù)量關(guān)系會(huì)變化,數(shù)量關(guān)系為BD﹣CD=A.
理由如下:
如圖2,將AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°交直線l于點(diǎn)E.
則∠DAE=∠CAB=90°,
∴∠DAC=∠EAB,
又AD=AE,AC=AB,
∴△EAB≌△DAC(SAS),
∴BE=CD,
∵AE=AD,∠EAD=90°,
∴△ADE是等腰直角三角形,
∴DE==AD,
∵BD﹣CD=BD﹣BE=DE,
∴BD﹣CD=AD;
(3)由(2)知,△CDA≌△BEA,
∴∠CDA=∠AEB,
∵∠DEA=45°,
∴∠AEB=180°﹣45°=135°,
∴∠CDA=∠AEB=135°,
∴∠CDA+∠ABC=135°+45°=180°,
∴A、B、C、D四點(diǎn)共圓,
于是作A、B、C、D外接圓⊙O,如圖3.
當(dāng)點(diǎn)D在線段AB的垂直平分線上且在AB的左側(cè)時(shí),△ABD的面積最大.
作DG⊥AB,則DG平分∠ADB,DB=DA,在DA上截取一點(diǎn)H,使得CD=DH=1,
∵∠ADB=∠ACB=45°,
∴∠GDB=22.5°,∠DBG=67.5°,
∴∠DBC=67.5°﹣45°=22.5°,
∠HCB=∠DHC﹣∠HBC=45°﹣22.5°=22.5°,
∴∠HCB=∠HBC,
∴HB=CH==,
∴AD=BD=DH+BH=1+.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,以點(diǎn)B為圓心,適當(dāng)長(zhǎng)為半徑的畫弧,分別交BA,BC于點(diǎn)M、N;再分別以點(diǎn)M、N為圓心,大于MN的長(zhǎng)為半徑畫弧,兩弧交于點(diǎn)P,作射線BP交AC于點(diǎn)D,則下列說(shuō)法中不正確的是()
A. BP是∠ABC的平分線B. AD=BDC. D. CD=BD
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了推動(dòng)陽(yáng)光體育運(yùn)動(dòng)的廣泛開展,引導(dǎo)學(xué)生走向操場(chǎng)、走進(jìn)大自然、走到陽(yáng)光下,積極參加體育鍛煉,學(xué)校準(zhǔn)備購(gòu)買一批運(yùn)動(dòng)鞋供學(xué)生借用.現(xiàn)從各年級(jí)隨機(jī)抽取了部分學(xué)生的鞋號(hào),繪制出如下的統(tǒng)計(jì)圖①和圖②,請(qǐng)根據(jù)相關(guān)信息,解答下列問(wèn)題:
(Ⅰ)本次接受隨機(jī)抽樣調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為________,圖①中的值為________;
(Ⅱ)求本次調(diào)查獲取的樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù);
(Ⅲ)根據(jù)樣本數(shù)據(jù),若學(xué)校計(jì)劃購(gòu)買150雙運(yùn)動(dòng)鞋,建議購(gòu)買35號(hào)運(yùn)動(dòng)鞋多少雙?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】對(duì)于封閉的平面圖形,如果圖形上或圖形內(nèi)的點(diǎn)S到圖形上的任意一點(diǎn)P之間的線段都在圖形內(nèi)或圖形上,那么這樣的點(diǎn)S稱為“亮點(diǎn)”.如圖,對(duì)于封閉圖形ABCDE,S1是“亮點(diǎn)”,S2不是“亮點(diǎn)”,如果AB∥DE,AE∥DC,AB=2,AE=1,∠B=∠C=60°,那么該圖形中所有“亮點(diǎn)”組成的圖形的面積為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,平面直角坐標(biāo)系中,A(8,0),B(0,6),∠BAO,∠ABO的平分線相交于點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)C作CD∥x軸交AB于點(diǎn)D,則點(diǎn)D的坐標(biāo)為( 。
A.( ,2)B.( ,1)C.( ,2)D.(,1)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】當(dāng)前,商丘市正在圍繞打響“游商丘古都城,讀華夏文明史”文化旅游品牌,加快推進(jìn)商丘景點(diǎn)保護(hù)性修復(fù)與宣傳工作,以此帶動(dòng)以文化為核心的全域旅游跨越發(fā)展,打造華夏歷史文明商丘傳承創(chuàng)新區(qū).隨著社會(huì)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展和城市周邊交通狀況的改善,旅游已成為人們的一種生活時(shí)尚,某中學(xué)開展以“我最喜歡的商丘風(fēng)景區(qū)”為主題的調(diào)查活動(dòng),圍繞“在森林公園、日月湖、漢梁公園和睢陽(yáng)古城”四個(gè)風(fēng)景區(qū)中,你最喜歡哪一個(gè)?(必選且只選一個(gè))”的問(wèn)題,在全校范圍內(nèi)隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查,將調(diào)查結(jié)果整理后繪制成如圖所示的不完整的統(tǒng)計(jì)圖,請(qǐng)你根據(jù)圖中提供的信息回答下列問(wèn)題:
(1)本次調(diào)查共抽取了多少名學(xué)生?
(2)通過(guò)計(jì)算補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(3)若該中學(xué)共有3000名學(xué)生,請(qǐng)你估計(jì)最喜歡日月湖風(fēng)景區(qū)的學(xué)生有多少名.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】拋物線(是常數(shù)),,頂點(diǎn)坐標(biāo)為.給出下列結(jié)論:①若點(diǎn)與點(diǎn)在該拋物線上,當(dāng)時(shí),則;②關(guān)于的一元二次方程無(wú)實(shí)數(shù)解,那么( )
A.①正確,②正確B.①正確,②錯(cuò)誤C.①錯(cuò)誤,②正確D.①錯(cuò)誤,②錯(cuò)誤
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四邊形ABCD中,∠B=∠C=90°,AB>CD,AD=AB+CD.
(1)利用尺規(guī)作∠ADC的平分線DE,交BC于點(diǎn)E,連接AE(保留作圖痕跡,不寫作法);
(2)在(1)的條件下,①證明:AE⊥DE;
②若CD=2,AB=4,點(diǎn)M,N分別是AE,AB上的動(dòng)點(diǎn),求BM+MN的最小值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】小明、小聰參加了跑的5期集訓(xùn),每期集訓(xùn)結(jié)束市進(jìn)行測(cè)試,根據(jù)他們的集訓(xùn)時(shí)間、測(cè)試成績(jī)繪制成如下兩個(gè)統(tǒng)計(jì)圖:
根據(jù)圖中信息,解答下列問(wèn)題:
(1)這5期的集訓(xùn)共有多少天?小聰5次測(cè)試的平均成績(jī)是多少?
(2)根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),結(jié)合體育運(yùn)動(dòng)的實(shí)際,從集訓(xùn)時(shí)間和測(cè)試成績(jī)這兩方面,說(shuō)說(shuō)你的想法.
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