【題目】如圖,邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O.有直角∠MPN,使直角頂點(diǎn)P與點(diǎn)O重合,直角邊PM、PN分別與OA、OB重合,然后逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠MPN,旋轉(zhuǎn)角為θ(0°<θ<90°),PM、PN分別交AB、BC于E、F兩點(diǎn),連接EF交OB于點(diǎn)G,則下列結(jié)論中正確的是

(1)EF=OE;(2)S四邊形OEBF:S正方形ABCD=1:4;(3)BE+BF=OA;(4)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,當(dāng)△BEF與△COF的面積之和最大時(shí),AE=;(5)OGBD=AE2+CF2

【答案】(1),(2),(3),(5).

【解析】

試題分析:(1)∵四邊形ABCD是正方形,

∴OB=OC,∠OBE=∠OCF=45°,∠BOC=90°,

∴∠BOF+∠COF=90°,

∵∠EOF=90°,

∴∠BOF+∠COE=90°,

∴∠BOE=∠COF,

在△BOE和△COF中,

,

∴△BOE≌△COF(ASA),

∴OE=OF,BE=CF,

∴EF=OE;故正確;

(2)∵S四邊形OEBF=S△BOE+S△BOE=S△BOE+S△COF=S△BOC=S正方形ABCD,

∴S四邊形OEBF:S正方形ABCD=1:4;故正確;

(3)∴BE+BF=BF+CF=BC=OA;故正確;

(4)過(guò)點(diǎn)O作OH⊥BC,

∵BC=1,

∴OH=BC=

設(shè)AE=x,則BE=CF=1﹣x,BF=x,

∴S△BEF+S△COF=BEBF+CFOH=x(1﹣x)+(1﹣x)×=﹣(x﹣2+,

∵a=﹣<0,

∴當(dāng)x=時(shí),S△BEF+S△COF最大;

即在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,當(dāng)△BEF與△COF的面積之和最大時(shí),AE=;故錯(cuò)誤;

(5)∵∠EOG=∠BOE,∠OEG=∠OBE=45°,

∴△OEG∽△OBE,

∴OE:OB=OG:OE,

∴OGOB=OE2

∵OB=BD,OE=EF,

∴OGBD=EF2,

∵在△BEF中,EF2=BE2+BF2,

∴EF2=AE2+CF2,

∴OGBD=AE2+CF2.故正確.

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②南美洲、北美洲、非洲三大洲的面積和約占陸地總面積的50%;
③非洲約占陸地總面積的20%;
④南美洲的面積是大洋洲面積的2倍.
你認(rèn)為上述四個(gè)結(jié)論中正確的應(yīng)該是( 。

A.①②
B.①④
C.①②④
D.①②③④

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2012年及2013年電話、電信、微信的人均使用時(shí)長(zhǎng)統(tǒng)計(jì)表 單位:分鐘

分式
年份

電話

短信

微信

2012年

14.4

4.1

3.0

2013年

5.1

3.4

9.7

請(qǐng)根據(jù)以上信息,回答以下問(wèn)題:
①?gòu)?012年到2013年微信的人均使用時(shí)長(zhǎng)增加了________分鐘;②在我國(guó)6億微信用戶中,經(jīng)常使用戶約為_(kāi)________億(結(jié)果精確到0.1);③從調(diào)查數(shù)學(xué)看,預(yù)計(jì)我國(guó)微信用戶今后每年將以20%的增長(zhǎng)率遞增,請(qǐng)你估計(jì)兩年后,我國(guó)微信用戶的規(guī)模將到達(dá)_________億.( 。

A.6.7 2 8.5
B.9 1.8 8.64
C.6.7 1.5 8.64
D.6 1.8 8.5

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A.0個(gè)
B.1個(gè)
C.2個(gè)
D.3個(gè)

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