【題目】如圖,在平面直角坐標系中,已知拋物線過A,B,C三點,點A的坐標是(3,0),點C的坐標是(0,﹣3),動點P在拋物線上.
(1)b= ,c= ,點B的坐標為 ;(直接填寫結果)
(2)是否存在點P,使得△ACP是以AC為直角邊的直角三角形?若存在,求出所有符合條件的點P的坐標;若不存在,說明理由;
(3)過動點P作PE垂直y軸于點E,交直線AC于點D,過點D作x軸的垂線.垂足為F,連接EF,當線段EF的長度最短時,求出點P的坐標.
【答案】(1)b=﹣2,c=﹣3,B(﹣1,0);(2)P(1,﹣4)或(﹣2,5);(3)(,)或(,).
【解析】
試題分析:(1)將點A和點C的坐標代入拋物線的解析式可求得b、c的值,然后令y=0可求得點B的坐標;
(2)分別過點C和點A作AC的垂線,將拋物線與P1,P2兩點先求得AC的解析式,然后可求得P1C和P2A的解析式,最后再求得P1C和P2A與拋物線的交點坐標即可;
(3)連接OD.先證明四邊形OEDF為矩形,從而得到OD=EF,然后根據垂線段最短可求得點D的縱坐標,從而得到點P的縱坐標,然后由拋物線的解析式可求得點P的坐標.
試題解析:(1)∵將點A和點C的坐標代入拋物線的解析式得:,解得:b=﹣2,c=﹣3,∴拋物線的解析式為.∵令,解得:,,∴點B的坐標為(﹣1,0).故答案為:﹣2;﹣3;(﹣1,0).
(2)存在.理由:如圖所示:
①當∠ACP1=90°.由(1)可知點A的坐標為(3,0).設AC的解析式為y=kx﹣3.
∵將點A的坐標代入得3k﹣3=0,解得k=1,∴直線AC的解析式為y=x﹣3,∴直線CP1的解析式為y=﹣x﹣3.∵將y=﹣x﹣3與聯立解得,(舍去),∴點P1的坐標為(1,﹣4).
②當∠P2AC=90°時.設AP2的解析式為y=﹣x+b.∵將x=3,y=0代入得:﹣3+b=0,解得b=3,∴直線AP2的解析式為y=﹣x+3.∵將y=﹣x+3與聯立解得=﹣2,=3(舍去),∴點P2的坐標為(﹣2,5).
綜上所述,P的坐標是(1,﹣4)或(﹣2,5).
(3)如圖2所示:連接OD.
由題意可知,四邊形OFDE是矩形,則OD=EF.根據垂線段最短,可得當OD⊥AC時,OD最短,即EF最短.
由(1)可知,在Rt△AOC中,∵OC=OA=3,OD⊥AC,∴D是AC的中點.又∵DF∥OC,∴DF=OC=,∴點P的縱坐標是,∴,解得:x=,∴當EF最短時,點P的坐標是:(,)或(,).
科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,在正方形網格中,每個小正方形的邊長都為1,點A點B在網格中的位置如圖所示.
(1)建立適當的平面直角坐標系,使點A點B的坐標分別為(1,2)(4,3);
(2)點C的坐標為(3,6),在平面直角坐標系中找到點C的位置,連接AB、BC、CA,則∠ACB=°;
(3)將點A、B、C的橫坐標都乘以﹣1,縱坐標不變,分別得到點A1、B1、C1 , 在圖中找到點A1、B1、C1并順次連接點A1、B1、C1 , 得到△A1B1C1 , 則這兩個三角形關于對稱.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知拋物線經過原點O,頂點為A(1,1),且與直線y=x﹣2交于B,C兩點.
(1)求拋物線的解析式及點C的坐標;
(2)求證:△ABC是直角三角形;
(3)若點N為x軸上的一個動點,過點N作MN⊥x軸與拋物線交于點M,則是否存在以O,M,N為頂點的三角形與△ABC相似?若存在,請求出點N的坐標;若不存在,請說明理由.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,D是BC邊上的中點,∠BDE=∠CDF,請你添加一個條件,使DE=DF成立.你添加的條件是 . (不再添加輔助線和字母)
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】某工廠一周計劃每日生產自行車100輛,由于工人實行輪休,每日上班人數不一定相等,實際每日生產量與計劃量相比情況如下表(以計劃量為標準,增加的車輛數記為正數,減少的車輛數記為負數):
(1)生產量最多的一天比生產量最少的一天多生產多少輛?
(2)本周總的生產量是多少輛?
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,BO平分∠ABC,CO平分△ABC的外角∠ACD,MN經過點O,與AB,AC相交于點M,N,且MN∥BC,則BM,CN之間的關系是( )
A.BM+CN=MN
B.BM﹣CN=MN
C.CN﹣BM=MN
D.BM﹣CN=2MN
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AD是它的角平分線,G是AD上的一點,BG,CG分別平分∠ABC,∠ACB,GH⊥BC,垂足為H,求證:
(1)∠BGC=90°+ ∠BAC;
(2)∠1=∠2.
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【題目】下列命題中是假命題的是( 。
A. 一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形
B. 一組對邊相等且有一個角是直角的四邊形是矩形
C. 一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形
D. 一組鄰邊相等的矩形是正方形
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