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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,已知拋物線過A,B,C三點,點A的坐標是(3,0),點C的坐標是(0,﹣3),動點P在拋物線上.

(1)b= ,c= ,點B的坐標為 ;(直接填寫結果)

(2)是否存在點P,使得△ACP是以AC為直角邊的直角三角形?若存在,求出所有符合條件的點P的坐標;若不存在,說明理由;

(3)過動點P作PE垂直y軸于點E,交直線AC于點D,過點D作x軸的垂線.垂足為F,連接EF,當線段EF的長度最短時,求出點P的坐標.

【答案】(1)b=﹣2,c=﹣3,B(﹣1,0);(2)P(1,﹣4)或(﹣2,5);(3))或(,).

【解析】

試題分析:(1)將點A和點C的坐標代入拋物線的解析式可求得b、c的值,然后令y=0可求得點B的坐標;

(2)分別過點C和點A作AC的垂線,將拋物線與P1,P2兩點先求得AC的解析式,然后可求得P1C和P2A的解析式,最后再求得P1C和P2A與拋物線的交點坐標即可;

(3)連接OD.先證明四邊形OEDF為矩形,從而得到OD=EF,然后根據垂線段最短可求得點D的縱坐標,從而得到點P的縱坐標,然后由拋物線的解析式可求得點P的坐標.

試題解析:(1)將點A和點C的坐標代入拋物線的解析式得:,解得:b=﹣2,c=﹣3,拋物線的解析式為,解得:點B的坐標為(﹣1,0).故答案為:﹣2;﹣3;(﹣1,0).

(2)存在.理由:如圖所示:

①當∠ACP1=90°.由(1)可知點A的坐標為(3,0).設AC的解析式為y=kx﹣3.

將點A的坐標代入得3k﹣3=0,解得k=1,直線AC的解析式為y=x﹣3,直線CP1的解析式為y=﹣x﹣3.將y=﹣x﹣3與聯立解得(舍去),點P1的坐標為(1,﹣4).

②當∠P2AC=90°時.設AP2的解析式為y=﹣x+b.將x=3,y=0代入得:﹣3+b=0,解得b=3,直線AP2的解析式為y=﹣x+3.將y=﹣x+3與聯立解得=﹣2,=3(舍去),點P2的坐標為(﹣2,5).

綜上所述,P的坐標是(1,﹣4)或(﹣2,5).

(3)如圖2所示:連接OD.

由題意可知,四邊形OFDE是矩形,則OD=EF.根據垂線段最短,可得當OD⊥AC時,OD最短,即EF最短.

由(1)可知,在Rt△AOC中,OC=OA=3,OD⊥AC,D是AC的中點.又DF∥OC,DF=OC=,點P的縱坐標是,,解得:x=,當EF最短時,點P的坐標是:(,)或().

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