Question

已知矩形ABCD中，AD=3，AB=1．
（1）若EF把矩形分成兩個(gè)小的矩形，如圖所示，其中矩形ABEF與矩形ABCD相似．求AF：AD的值；
（2）若在矩形ABCD內(nèi)不重疊地放兩個(gè)長是寬的3倍的小長方形，且每個(gè)小長方形的每條邊與矩形ABCD的邊平行，求這兩個(gè)小長方形周長和的最大值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)AF=x，再根據(jù)矩形ABEF與矩形ABCD相似即可求出x的值，進(jìn)而得出AF：AD的值；
（2）由于小矩形放置的位置不確定，故應(yīng)分三種情況討論：
①兩個(gè)小矩形都“豎放”；②兩個(gè)小矩形都“橫放”；③兩個(gè)小矩形一個(gè)“橫放”，一個(gè)“豎放”．

解答：解：（1）設(shè)AF=x，
∵矩形ABEF與矩形ABCD相似，AD=3，AB=1，
∴

AB

AD

=

AF

CD

，即

1

3

=

x

1

，解得x=

1

3

，
∴AF：AD=

1

3

：3=1：9；

（2）解：兩個(gè)小矩形的放置情況有如下幾種：
①兩個(gè)小矩形都“豎放”，如圖（一），在這種放法下，周長和最大的兩個(gè)小矩形，邊長分別為1和

1

3

，
故此時(shí)周長和的最大值為

16

3

．

②兩個(gè)小矩形都“橫放”，如圖（二）及圖（三）所示，這時(shí)兩個(gè)小矩形的周長和的最大值是
2（a+3a）+2[1-a+3（1-a）]=8．

③兩個(gè)小矩形一個(gè)“橫放”，一個(gè)“豎放”，如圖（四），這時(shí)兩個(gè)小矩形的周長和為
2（a+3a）+2（3-a+

3-a

3

）=8+

16a

3

，

因?yàn)?＜3a≤1，即0＜a≤

1

3

，故當(dāng)a=

1

3

時(shí)，此時(shí)兩個(gè)小矩形的周長和最大為

88

9

，
綜上三種情形，知所求的最大值為

88

9

．
故答案為：

88

9

．

點(diǎn)評：本題考查的是相似多邊形的性質(zhì)，即相似多邊形的對應(yīng)邊成比例，解答此題時(shí)要注意分類討論．