【題目】如圖,已知拋物線經過點C(-2,6),

與x軸相交于A、B兩點(A在B的左側),與y軸交于點D.

(1)求點A的坐標;

(2)設直線BC交y軸于點E,連接AE、AC,求證:是等腰直角三角形;

(3)連接AD交BC于點F,試問當時,在拋物線上是否存在一點P使得以A、B、P為頂點的三角形與相似?若存在, 請求出點P的坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】(1)A(-4,0);(2)證明見解析;(3)存在,(-2,6)或.

【解析】試題分析: 1)將點C-2,6)代入解析式求出m的值,令y=0,求出A的坐標;

2)根據兩點間的距離公式求出AECE的長度,再根據股定理的逆定理判斷出△AEC是等腰直角三角形;

3)求出AD、BC的解析式組成方程組,解出F的坐標,根據三角形相似求出P點的坐標.

試題解析:

1∵拋物線經過點C(2,6)

∴當,

,

2)證明:設直線BC的函數(shù)解析式為y=kx+b

由題意得: ,解得: .

∴直線BC的解析式為y=2x+2

∴點E的坐標為(0,2.

.

AE=CE

又∵

∴△AEC為等腰直角三角形

3)在拋物線上是否存在一點P使得以AB、P為頂點的三角形與相似。理由如下:

設直線AD的解析式為y=k1x+b1,則 ,解得: .

∴直線AD的解析式為y=x+4。

聯(lián)立直線AD與直線BC的函數(shù)解析式可得: ,解得: .

∴點F的坐標為( , )。

,

。

又∵AB=5,

.

.

又∵∠ABF=CBA,∴△ABF∽△CBA

∴當點P與點C重合時,以AB、P為頂點的三角形與相似。

又∵拋物線關于直線對稱

當點P與點C的對稱點重合時,以A、B、P為頂點的三角形也與相似。

∴當點P的坐標為(-2,6)或(-時,以A、B、P為頂點的三角形與相似。

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