Question

如圖，在⊙O中弦AB⊥CD于點(diǎn)E，過E作AC的垂線交BD于點(diǎn)Q，P為垂足，求證Q為BD的中點(diǎn)．

Answer 1

證明：∵AB⊥CD于點(diǎn)E，過E作AC的垂線交BD于點(diǎn)Q，
∴三角形ACE、三角形PCE、三角形APE、三角形BED都是直角三角形．
∴∠DEQ=∠CEP（對(duì)頂角相等）．
∠CEP=∠A（同角的余角相等）．
又∵∠A=∠D（同弧所對(duì)的圓周角相等），
∴∠DEQ=∠D，∴EQ=QD（等角對(duì)等邊）．
又∵∠QEB=∠B（等角的余角相等），
∴EQ=QB．
∴EQ=QD=QB，即Q為BD的中點(diǎn)．
分析：在Rt△ACE，Rt△ACE中有∠CEP=∠A，∠DEQ與∠CEP是對(duì)頂角，由同弧所對(duì)的圓周角相等得∠A=∠D，∴∠DEQ=∠D，∴EQ=QD再根據(jù)等角的余角相等得∠QEB=∠B，∴EQ=QB，∴EQ=QD=QB，即Q為BD的中點(diǎn)．
點(diǎn)評(píng)：本題利用了直角三角形的性質(zhì)、同弧所對(duì)的圓周角相等、等角的余角相等，等角對(duì)等邊求解．