Question

【題目】我們定義：有一組對角相等而另一組對角不相等的凸四邊形叫做等對角四邊形．請解決下列問題：
（1）已知：如圖1，四邊形ABCD是等對角四邊形，∠A≠∠C，∠A=70°，∠B=75°，則∠C=°，∠D=°
（2）在探究等對角四邊形性質(zhì)時： 小紅畫了一個如圖2所示的等對角四邊形ABCD，其中，∠ABC=∠ADC，AB=AD，此時她發(fā)現(xiàn)CB=CD成立，請你證明該結(jié)論；
（3）圖①、圖②均為4×4的正方形網(wǎng)格，線段AB、BC的端點(diǎn)均在網(wǎng)點(diǎn)上．按要求在圖①、圖②中以AB和BC為邊各畫一個等對角四邊形ABCD． 要求：四邊形ABCD的頂點(diǎn)D在格點(diǎn)上，所畫的兩個四邊形不全等．
（4）已知：在等對角四邊形ABCD中，∠DAB=60°，∠ABC=90°，AB=5，AD=4，求對角線AC的長．

Answer 1

【答案】
（1）140；75
（2）證明：如圖2，連接BD，

∵AB=AD，

∴∠ABD=∠ADB，

∵∠ABC=∠ADC，

∴∠ABC﹣∠ABD=∠ADC﹣∠ADB，

∴∠CBD=∠CDB，

∴CB=CD；

（3）如圖所示：

（4）解：分兩種情況：

①當(dāng)∠ADC=∠ABC=90°時，延長AD，BC相交于點(diǎn)E，如圖3所示：

∵∠ABC=90°，∠DAB=60°，AB=5，

∴∠E=30°，

∴AE=2AB=10，

∴DE=AE﹣AD=10﹣4═6，

∵∠EDC=90°，∠E=30°，

∴CD=2 ，

∴AC= = =2 ；

②當(dāng)∠BCD=∠DAB=60°時，

過點(diǎn)D作DM⊥AB于點(diǎn)M，DN⊥BC于點(diǎn)N，如圖4所示：

則∠AMD=90°，四邊形BNDM是矩形，

∵∠DAB=60°，

∴∠ADM=30°，

∴AM= AD=2，

∴DM=2 ，

∴BM=AB﹣AM=5﹣2=3，

∵四邊形BNDM是矩形，

∴DN=BM=3，BN=DM=2 ，

∵∠BCD=60°，

∴CN= ，

∴BC=CN+BN=3 ，

∴AC= =2 ．

綜上所述：AC的長為2 或2 ．

故答案為：140，75．

【解析】（1）解：∵四邊形ABCD是“等對角四邊形”，∠A≠∠C，∠A=70°，∠B=75°， ∴∠D=∠B=75°，
∴∠C=360°﹣75°﹣75°﹣70°=140°；
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解勾股定理的概念(直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2)，還要掌握勾股定理的逆定理(如果三角形的三邊長a、b、c有下面關(guān)系：a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形)的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵．