Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，直線l1：y= x與直線l2：y=﹣x+6交于點A，l2與x軸交于B，與y軸交于點C．

（1）求△OAC的面積；
（2）如點M在直線l2上，且使得△OAM的面積是△OAC面積的 ，求點M的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解：在y=﹣x+6中，令x=0，解得y=6，

∴C（0，6），即CO=6，

解方程組 ，可得 ，

∴A（4，2），

∴S△OAC= ×6×4=12

（2）解：分兩種情況：

①如圖所示，

當點M1在射線AC上時，過M1作M1D⊥CO于D，則△CDM1是等腰直角三角形，

∵A（4，2），C（0，6），

∴AC= =4 ，

∵△OAM的面積是△OAC面積的 ，

∴AM1= AC=3 ，

∴CM1= ，

∴DM1= ，即點M1的橫坐標為 ，

在直線y=﹣x+6中，當x= 時，y=6﹣ ，

∴M1（ ，6﹣ ）；

②如圖所示，當點M2在射線AB上時，過M2作M2E⊥CO于E，則△CEM2是等腰直角三角形，

由題可得，AM2=AM1=3 ，

∴CM2=7 ，

∴EM2= ，即點M2的橫坐標為 ，

在直線y=﹣x+6中，當x= 時，y=6﹣ ，

∴M2（ ，6﹣ ）．

綜上所述，點M的坐標為（ ，6﹣ ）或（ ，6﹣ ）．

【解析】（1）先求出兩直線的交點A的坐標，及直線BC與y軸的交點C的坐標，再根據(jù)三角形的面積公式，即可求出△OAC的面積。
（2）抓住已知條件中的關(guān)鍵詞點M在直線l2上，因此分兩種情況討論：當點M1在射線AC上時，過M1作M1D⊥CO于D，則△CDM1是等腰直角三角形，易求出AC的長，再根據(jù)△OAM和△OAC的面積關(guān)系求出AM1，CM1的長，由△CDM1是等腰直角三角形，可得出DM1的長，然后結(jié)合函數(shù)解析式就可求出 點M1的坐標；當點M2在射線AB上時，過M2作M2E⊥CO于E，則△CEM2是等腰直角三角形，運用類似的方法求出點M2的坐標，即可得出結(jié)論。
【考點精析】利用等腰直角三角形和確定一次函數(shù)的表達式對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°；確定一個一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b（k不等于0）中的常數(shù)k和b．解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法．