Question

已知在⊙0中，半徑等于13，兩條平行弦AB、CD的長度分別為24和10，則AB與CD的距離為

7或17

．

Answer 1

分析：分兩種情況考慮：（i）當(dāng)兩條弦在圓心O同側(cè)時(shí)，如圖1所示，過O作OE⊥CD，與AB交于F點(diǎn)，由AB∥CD，可得出OF⊥AB，連接OA，OC，利用垂徑定理得到E、F分別為CD、AB的中點(diǎn)，由CD與AB的長求出CE與AF的長，再由半徑OA與OC的長，利用勾股定理分別求出OE與OF，由OE-OF即可求出兩弦間的距離EF的長；（ii）當(dāng)兩條弦在圓心O異側(cè)時(shí)，如圖1所示，過O作OE⊥CD，與AB交于F點(diǎn)，由AB∥CD，可得出OF⊥AB，連接OA，OC，利用垂徑定理得到E、F分別為CD、AB的中點(diǎn)，由CD與AB的長求出CE與AF的長，再由半徑OA與OC的長，利用勾股定理分別求出OE與OF，由OE+OF即可求出兩弦間的距離EF的長，綜上，得到AB與CD的距離．

解答：解：分兩種情況考慮：
（i）當(dāng)弦AB與弦CD在圓心O同側(cè)時(shí)，如圖1所示，
過O作OE⊥CD，與AB交于F點(diǎn)，由AB∥CD，可得出OF⊥AB，
連接OA，OC，
∵OE⊥CD，OF⊥AB，
∴E、F分別為CD、AB的中點(diǎn)，
∵AB=24，CD=10，
∴CE=DE=5，AF=BF=12，
又半徑OA=OC=13，
∴在Rt△AOF中，根據(jù)勾股定理得：OF=

OA2-AF2

=5，
在Rt△COE中，根據(jù)勾股定理得：OE=

OC2-CE2

=12，
則兩弦間的距離EF=OE-OF=12-5=7；
（ii）當(dāng)弦AB與弦CD在圓心O異側(cè)時(shí)，如圖2所示，
過O作OE⊥CD，與AB交于F點(diǎn)，由AB∥CD，可得出OF⊥AB，
連接OA，OC，
∵OE⊥CD，OF⊥AB，
∴E、F分別為CD、AB的中點(diǎn)，
∵AB=24，CD=10，
∴CE=DE=5，AF=BF=12，
又半徑OA=OC=13，
∴在Rt△AOF中，根據(jù)勾股定理得：OF=

OA2-AF2

=5，
在Rt△COE中，根據(jù)勾股定理得：OE=

OC2-CE2

=12，
則兩弦間的距離EF=OE+OF=12+5=17，
綜上，兩條弦間的距離為7或17．
故答案為：7或17

點(diǎn)評(píng)：此題考查了垂徑定理，以及勾股定理，利用了分類討論的思想，分類討論時(shí)要做到不重不漏．