Question

已知：如圖，邊長為2

3

的等邊三角形ABC內接于⊙O，點D在

AC

上運動，但與A、C兩點不重合，連接AD并延長交BC的延長結于P．
（1）求⊙O的半徑；
（2）設AD為x，AP為y，寫出y與x的函數(shù)關系式及自變量x的取值范圍；
（3）D點在運動過程中是否存在這樣的位置，使得△BDP成為以DB、DP為腰的等腰三角形？若存在，請你求出此時AD的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）過O作OE⊥AB于E，連接OA，根據(jù)等邊三角形的性質和垂徑定理可以E是AB的中點∠EAO=30°這樣解直角三角形就可以求出半徑了；
（2）連接CD，利用圓內接四邊形的性質可以得到∠ADC=∠ACP=120°，還有一個公共角，可以證明△ADC∽△ACP，然后利用相似三角形的性質就可以求出函數(shù)的關系式；
（3）此題是探究性題目，一般假設結論成立，然后利用已知條件進行推理，然后進行判斷．這里假設D點在運動的過程中存在這樣的位置，使得△DBP成為以DB，DP為腰的等腰三角形，然后根據(jù)假設結合已知條件可以得到DB是圓的直徑，這樣可以得到關于x的方程，解方程就可以判斷假設是否成立，然后根據(jù)方程的解就求出此時AD的長．

解答：解：（1）過O作OE⊥AB于E，連接OA
在Rt△AEO中，∠EAO=30°
AE=

AB

2

=

3

∴

AE

OA

=cos30°
∴OA=2

（2）連接CD，則∠ABC+∠ADC=180°
又∠ACB+∠ACP=180°，∠ABC=∠ACB=60°
∴∠ADC=∠ACP=120°
又∵∠CAD=∠PAC
∴△ADC∽△ACP
∴

AD

AC

=

AC

AP

∴AC²=AD•AP
∴y=

(2 3 )2

x

=

12

x

（0＜x＜2

3

）

（3）假設D點在運動的過程中存在這樣的位置，使得△DBP成為以DB，DP為腰的等腰三角形，那么DB=DP
∵∠BDC=∠BAC=60°，∠CDP=∠ABC=60°
∴∠BDC=∠CDP
∴CD⊥BP
∴DB是圓的直徑，BD=4，DP=4
∵DP=AP-AD=y-x=

12

x

-x=4
即x²+4x-12=0
∵△=42-4×（-12）=64＞0
∴關于x的方程x²+4x-12=0有兩個不相等的實根，說明假設成立
∴x₁=2，x₂=-6（線段不能為負，舍去）
∴D點在運動的過程中存在這樣的位置：即當AD=2時，△BDP成為以BD，PD為腰的等腰三角形．

點評：此題綜合性比較強，把一元二次方程，等邊三角形，相似三角形，求函數(shù)關系式等知識放在圓的背景中，利用這些知識探究，解題．對學生的要求比較高．