【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x1,y1),點(diǎn)N的坐標(biāo)為(x2,y2),且x1≠x2,y1≠y2,以MN為邊構(gòu)造菱形,若該菱形的兩條對(duì)角線分別平行于x軸,y軸,則稱該菱形為邊的“坐標(biāo)菱形”.

(1)已知點(diǎn)A(2,0),B(0,2),則以AB為邊的“坐標(biāo)菱形”的最小內(nèi)角為   

(2)若點(diǎn)C(1,2),點(diǎn)D在直線y=5上,以CD為邊的“坐標(biāo)菱形”為正方形,求直線CD 表達(dá)式;

(3)⊙O的半徑為,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,m).若在O上存在一點(diǎn)Q,使得以QP為邊的“坐標(biāo)菱形”為正方形,求m的取值范圍.

【答案】(1)60°;(2)y=x+1或y=﹣x+3;(3)1≤m≤5或﹣5≤m≤﹣1

【解析】分析:1)根據(jù)定義建立以AB為邊的坐標(biāo)菱形”,由勾股定理求邊長(zhǎng)AB=4,可得30度角,從而得最小內(nèi)角為60°;

2)先確定直線CD與直線y=5的夾角是45°,D45)或(﹣2,5),易得直線CD的表達(dá)式為y=x+1y=﹣x+3;

3)分兩種情況

①先作直線y=x,再作圓的兩條切線,且平行于直線y=x,如圖3根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)分別求P'B=BD=1,PB=5寫(xiě)出對(duì)應(yīng)P的坐標(biāo);

②先作直線y=﹣x,再作圓的兩條切線,且平行于直線y=﹣x如圖4,同理可得結(jié)論.

詳解:(1∵點(diǎn)A2,0),B0,2),OA=2,OB=2.在RtAOB,由勾股定理得AB==4,∴∠ABO=30°.

∵四邊形ABCD是菱形∴∠ABC=2ABO=60°.

ABCD,∴∠DCB=180°﹣60°=120°,∴以AB為邊的坐標(biāo)菱形的最小內(nèi)角為60°.

故答案為:60°;

2)如圖2

∵以CD為邊的坐標(biāo)菱形為正方形∴直線CD與直線y=5的夾角是45°.

過(guò)點(diǎn)CCEDEE,D45)或(﹣2,5),∴直線CD的表達(dá)式為y=x+1y=﹣x+3;

3)分兩種情況

①先作直線y=x,再作圓的兩條切線,且平行于直線y=x,如圖3

∵⊙O的半徑為,且△OQ'D是等腰直角三角形,OD=OQ'=2,P'D=32=1

∵△P'DB是等腰直角三角形,P'B=BD=1,P'(01),同理可得OA=2AB=3+2=5

∵△ABP是等腰直角三角形,PB=5,P0,5),∴當(dāng)1m5時(shí),QP為邊的坐標(biāo)菱形為正方形

②先作直線y=﹣x,再作圓的兩條切線,且平行于直線y=﹣x,如圖4

∵⊙O的半徑為且△OQ'D是等腰直角三角形,OD=OQ'=2,BD=32=1

∵△P'DB是等腰直角三角形,P'B=BD=1,P'(0,﹣1),同理可得OA=2,AB=3+2=5

∵△ABP是等腰直角三角形,PB=5,P0,﹣5),∴當(dāng)﹣5m1時(shí),QP為邊的坐標(biāo)菱形為正方形

綜上所述m的取值范圍是1m5或﹣5m1

練習(xí)冊(cè)系列答案
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1)求∠AOB的度數(shù).

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1)直接寫(xiě)出OA   OB   

2)設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒,當(dāng)t為何值時(shí),恰好有AN2AM;

3)若點(diǎn)P為線段AM的中點(diǎn),Q為線段BN的中點(diǎn),M、N在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,PQ+MN的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化?若不變,請(qǐng)說(shuō)明理由,若變化,當(dāng)t為何值時(shí),PQ+MN有最小值?最小值是多少?

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【題目】如圖,OM是AOC的平分線,ON是BOC的平分線.

(1)如圖1,當(dāng)AOB是直角,BOC=60°時(shí),MON的度數(shù)是多少?

(2)如圖2,當(dāng)AOB=αBOC=60°時(shí),猜想MON與α的數(shù)量關(guān)系;

(3)如圖3,當(dāng)AOB=α,BOC=β時(shí),猜想MON與α、β有數(shù)量關(guān)系嗎?如果有,指出結(jié)論并說(shuō)明理由.

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【題目】如圖,在△ABC中,C=60°,BC=3厘米,AC=4厘米,點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā),沿BCA以每秒1厘米的速度勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A.設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x,B、P兩點(diǎn)間的距離為y厘米

小新根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn),對(duì)函數(shù)隨自變量的變化而變化的規(guī)律進(jìn)行了探究

下面是小新的探究過(guò)程,請(qǐng)補(bǔ)充完整:

(1)通過(guò)取點(diǎn)、畫(huà)圖、測(cè)量,得到了xy的幾組值,如下表:

x(s)

0

1

2

3

4

5

6

7

y(cm)

0

1.0

2.0

3.0

2.7

2.7

m

3.6

經(jīng)測(cè)量m的值是(保留一位小數(shù))

(2)建立平面直角坐標(biāo)系,描出表格中所有各對(duì)對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn),畫(huà)出該函數(shù)的圖象;

(3)結(jié)合畫(huà)出的函數(shù)圖象,解決問(wèn)題:在曲線部分的最低點(diǎn)時(shí),在△ABC中畫(huà)出點(diǎn)P所在的位置.

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請(qǐng)你在數(shù)軸上表示出一個(gè)范圍,使得這個(gè)范圍:

(1)包含所有大于-3且小于0的數(shù)[畫(huà)在數(shù)軸(1)上];

(2)包含這兩個(gè)數(shù),且只含有5個(gè)整數(shù)[畫(huà)在數(shù)軸(2)上];

(3)同時(shí)滿足以下三個(gè)條件:[畫(huà)在數(shù)軸(3)上]

①至少有100對(duì)互為相反數(shù)和100對(duì)互為倒數(shù);

②有最小的正整數(shù);

③這個(gè)范圍內(nèi)最大的數(shù)與最小的數(shù)表示的點(diǎn)的距離大于3但小于4

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【題目】隨著通訊技術(shù)迅猛發(fā)展,人與人之間的溝通方式更多樣、便捷.某校數(shù)學(xué)興趣小組設(shè)計(jì)了你最喜歡的溝通方式調(diào)查問(wèn)卷(每人必選且只選一種),在全校范圍內(nèi)隨機(jī)調(diào)查了部分學(xué)生,將統(tǒng)計(jì)結(jié)果繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖,請(qǐng)結(jié)合圖中所給的信息解答下列問(wèn)題:

1)這次統(tǒng)計(jì)共抽查了  名學(xué)生;在扇形統(tǒng)計(jì)圖中,表示“QQ”的扇形圓心角的度數(shù)為   ;

2)將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;

3)該校共有1500名學(xué)生,請(qǐng)估計(jì)該校最喜歡用微信進(jìn)行溝通的學(xué)生有多少名?

4)某天甲、乙兩名同學(xué)都想從微信、“QQ”、電話三種溝通方式中選一種方式與對(duì)方聯(lián)系,請(qǐng)用列表或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法求出甲、乙兩名同學(xué)恰好選中同一種溝通方式的概率.

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【題目】如圖,等邊ABC的邊長(zhǎng)是2,D、E分別為AB、AC的中點(diǎn),過(guò)E點(diǎn)作EFDCBC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,連接CD.

(1)求證:四邊形CDEF是平行四邊形;

(2)求EF的長(zhǎng).

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【題目】如圖,所有小正方形的邊長(zhǎng)都為1A、B、C都在格點(diǎn)上.

1)過(guò)點(diǎn)C畫(huà)直線AB的平行線(不寫(xiě)畫(huà)法,下同);

2)過(guò)點(diǎn)A畫(huà)直線BC的垂線,并注明垂足為G;過(guò)點(diǎn)A畫(huà)直線AB的垂線,交BC于點(diǎn)H

3)線段_____的長(zhǎng)度是點(diǎn)A到直線BC的距離;

4)線段AG、AH的大小關(guān)系為AG_____AH.(填“>”或“<”或“=”),理由________

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