【題目】如圖,已知拋物線與x軸交于A(-1,0),B(3,0),與y軸交于C(0,-3),頂點為點M.
(1)求拋物線的解析式及點M的坐標(biāo).
(2)點P是直線BC在y軸右側(cè)部分圖象上的動點,若點P,點C,點M所構(gòu)成的三角形與△AOC相似,求符合條件的P點坐標(biāo).
(3)過點C作CD∥AB,CD交拋物線于點D,點Q是線段CD上的一動點,作直線QN與線段AC交于點N,與x軸交于點E,且∠BQE=∠BDC,當(dāng)CN的值最大時,求點E的坐標(biāo).
【答案】 (1)y=x2-2x-3,M(1,-4);(2)P1(,-),P2(3,0);(3)E(-10,0).
【解析】試題分析:(1)由拋物線經(jīng)過的三個已知點,可設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+1)(x-3),把C點坐標(biāo)代入求a的值;(2)連接MC,作MF⊥y軸于點F,構(gòu)造出直角三角形,由直角三角形相似,對應(yīng)邊成比例分情況討論即可;(3)先求出點D的坐標(biāo),可求出線段BD的值,由拋物線的軸對稱性可得到△NCQ∽△QDB,利用相似三角形對應(yīng)邊成比例即可求解.
試題解析:(1)∵拋物線與x軸交于A(-1,0),B(3,0),
∴設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+1)(x-3).
把(0,-3)代入y=a(x+1)(x-3),解得a=1.
∴拋物線的解析式為y=x2-2x-3.
∵y=x2-2x-3=(x-1)2-4,
∴點M的坐標(biāo)是(1,-4).
(2)連接MC,作MF⊥y軸于點F,則點F坐標(biāo)為(0,-4).
∵MF=1,CF=-3-(-4)=1,
∴MF=CF,MC=.
∴∠FCM=∠FMC=45°.
∵B(3,0),C(0,-3),∴OB=OC=3.
而∠BOC=90°,∴∠OCB=∠OBC=45°.
∴∠MCB=180°-∠OCB-∠FCM=90°.
由此可知,∠MCP=90°,則點O與點C必為相似三角形對應(yīng)點.
過點P作PH⊥y軸于H.
①若有△PCM∽△AOC,則有=.
∴CP===.
∵∠PCH=45°,CP=,
∴PH=CH=÷=.
∴OH=OC-CH=3-=.
∴P1(,-);
②若有△PCM∽△COA,則有=.
∴CP===.
∴PH=CH=÷=3.此時,點P與點B重合.
∴P2(3,0).
∴符合題意的P點坐標(biāo)為P1(,-),P2(3,0).
(3)過點Q作QG⊥x軸于點G.
設(shè)點E的坐標(biāo)為(n,0),Q的坐標(biāo)為(m,-3).
∵CD∥x軸,
∴D的縱坐標(biāo)為-3.
把y=-3代入y=x2-2x-3,
∴x=0或x=2.
∴D(2,-3).
∵B(3,0),
∴由勾股定理可求得:BD=.
∵Q(m,-3),
∴QD=2-m,CQ=m(0≤m≤2).
∵∠BQE=∠BDC,∠EQC+∠BQE=∠BDC+∠QBD,
∴∠EQC=∠QBD.
又由拋物線的軸對稱性可知:∠NCQ=∠BDC,
∴△NCQ∽△QDB.
∴=.
∴=.
∴CN=-(m2-2m)=-(m-1)2+.
∴當(dāng)m=1時,CN可取得最大值.此時Q的坐標(biāo)為(1,-3).
∴QG=3,BG=2,QD=1.
∴由勾股定理可求得:QB=.
∵E(n,0),
∴EB=3-n.
∵CD∥x軸,
∴∠BEQ=∠NQC=∠QBD,∠EBQ=∠BQD.
∴△EQB∽△BDQ.
∴=.
∴BQ2=QDEB,即13=1×(3-n),
∴n=-10.
∴E的坐標(biāo)為(-10,0).
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【題目】已知關(guān)于x、y的方程組 ,給出下列結(jié)論: ① 是方程組的解;
②無論a取何值,x,y的值都不可能互為相反數(shù);
③當(dāng)a=1時,方程組的解也是方程x+y=4﹣a的解;
④x,y的都為自然數(shù)的解有4對.
其中正確的個數(shù)為( )
A.1個
B.2個
C.3個
D.4個
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【題目】已知:如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,反比例函數(shù)的圖象與正比例函數(shù)y=kx(k≠0)的圖象相交于橫坐標(biāo)為2的點A,平移直線OA,使它經(jīng)過點B(3,0),與y軸交于點C.
(1)求平移后直線的表達式;
(2)求∠OBC的余切值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,地面BD上兩根等長立柱AB,CD之間懸掛一根近似成拋物線y= x2﹣x+3的繩子.
(1)求繩子最低點離地面的距離;
(2)因?qū)嶋H需要,在離AB為3米的位置處用一根立柱MN撐起繩子(如圖2),使左邊拋物線F1的最低點距MN為1米,離地面1.8米,求MN的長;
(3)將立柱MN的長度提升為3米,通過調(diào)整MN的位置,使拋物線F2對應(yīng)函數(shù)的二次項系數(shù)始終為,設(shè)MN離AB的距離為m,拋物線F2的頂點離地面距離為k,當(dāng)2≤k≤2.5時,求m的取值范圍.
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【題目】某興趣小組為了了解本校男生參加課外體育鍛煉情況,隨機抽取本校300名男生進行了問卷調(diào)查,統(tǒng)計整理并繪制了如圖兩幅尚不完整的統(tǒng)計圖.請根據(jù)以上信息解答下列問題:
(1) 課外體育鍛煉情況扇形統(tǒng)計圖中,“經(jīng)常參加”所對應(yīng)的圓心角的度數(shù)為____________
(2) 請補全條形統(tǒng)計圖
(3) 該校共有1200名男生,請估計全校男生中經(jīng)常參加課外體育鍛煉并且最喜歡的項目是籃球的人數(shù)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】拋物線y=x2向下平移2個單位長度,所得拋物線是( )
A. y=(x+2)2B. y=(x-2)2
C. y=x2-2D. y=x2+2
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