Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A(a，0)，B(0，b)其中a，b滿足．點(diǎn)C為x軸正半軸上的一點(diǎn)，且點(diǎn)C在點(diǎn)A右側(cè)，若點(diǎn)D為第一象限內(nèi)一點(diǎn)，且滿足CD⊥CB，．

(1)求A，B的坐標(biāo)；

(2)如圖1，點(diǎn)E為BD中點(diǎn)，連接OE，求證：；

(3)如圖2，若點(diǎn)F、G是BA上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，求證：．

Answer 1

【答案】（1） （2）證明見解析 （3）證明見解析

【解析】

（1）根據(jù)二次根式和平方的非負(fù)性可得，即可求出A，B的坐標(biāo)；

（2）作與x軸交于點(diǎn)F，連接CE、EF，通過證明和，可得△EFO是等腰直角三角形，即可得證 ；

（3）將△BOF繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△AOH，旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，點(diǎn)F對(duì)應(yīng)點(diǎn)H，連接HG，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，再通過證明，可得，根據(jù)勾股定理得，即可得證．

（1）∵a，b滿足

∴

解得

∴；

（2）作與x軸交于點(diǎn)F，連接CE、EF

∵，

∴，△BCD是等腰直角三角形

∴

∵

∴

∴

在△span>BOC和△CFD中

∴

∴，

∵點(diǎn)E為BD中點(diǎn)

∴，

∴

∴

∴

在△BOE和△CFE中

∴

∴，

∵

∴

∴△EFO是等腰直角三角形

∴ ；

（3）將△BOF繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△AOH，旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，點(diǎn)F對(duì)應(yīng)點(diǎn)H，連接HG

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得

，，，

∵

∴

∵

∴

∴

∴

∴

在△FOG和△HOG中

∴

∴

在Rt△GAH中

∴．