【題目】如圖,拋物線(a≠0)的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于C點(diǎn),已知B點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0).
(1)求拋物線的解析式;
(2)試探究△ABC的外接圓的圓心位置,并求出圓心坐標(biāo);
(3)若點(diǎn)M是線段BC下方的拋物線上一點(diǎn),求△MBC的面積的最大值,并求出此時M點(diǎn)的坐標(biāo).
【答案】(1);(2)(,0);(3)4,M(2,﹣3).
【解析】試題分析:方法一:
(1)該函數(shù)解析式只有一個待定系數(shù),只需將B點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式中即可.
(2)首先根據(jù)拋物線的解析式確定A點(diǎn)坐標(biāo),然后通過證明△ABC是直角三角形來推導(dǎo)出直徑AB和圓心的位置,由此確定圓心坐標(biāo).
(3)△MBC的面積可由S△MBC=BC×h表示,若要它的面積最大,需要使h取最大值,即點(diǎn)M到直線BC的距離最大,若設(shè)一條平行于BC的直線,那么當(dāng)該直線與拋物線有且只有一個交點(diǎn)時,該交點(diǎn)就是點(diǎn)M.
方法二:
(1)該函數(shù)解析式只有一個待定系數(shù),只需將B點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式中即可.
(2)通過求出A,B,C三點(diǎn)坐標(biāo),利用勾股定理或利用斜率垂直公式可求出AC⊥BC,從而求出圓心坐標(biāo).
(3)利用三角形面積公式,過M點(diǎn)作x軸垂線,水平底與鉛垂高乘積的一半,得出△MBC的面積函數(shù),從而求出M點(diǎn).
試題解析:解:方法一:
(1)將B(4,0)代入拋物線的解析式中,得: 0=16a﹣×4﹣2,即:a=,∴拋物線的解析式為: .
(2)由(1)的函數(shù)解析式可求得:A(﹣1,0)、C(0,﹣2);
∴OA=1,OC=2,OB=4,即:OC2=OAOB,又:OC⊥AB,∴△OAC∽△OCB,得:∠OCA=∠OBC;
∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°,∴△ABC為直角三角形,AB為△ABC外接圓的直徑;
所以該外接圓的圓心為AB的中點(diǎn),且坐標(biāo)為:(,0).
(3)已求得:B(4,0)、C(0,﹣2),可得直線BC的解析式為:y=x﹣2;
設(shè)直線l∥BC,則該直線的解析式可表示為:y=x+b,當(dāng)直線l與拋物線只有一個交點(diǎn)時,可列方程:
x+b=,即: ,且△=0;
∴4﹣4×(﹣2﹣b)=0,即b=﹣4;
∴直線l:y=x﹣4.
所以點(diǎn)M即直線l和拋物線的唯一交點(diǎn),有: ,解得:
即 M(2,﹣3).
過M點(diǎn)作MN⊥x軸于N,S△BMC=S梯形OCMN+S△MNB﹣S△OCB=×2×(2+3)+×2×3﹣×2×4=4.
方法二:
(1)將B(4,0)代入拋物線的解析式中,得: 0=16a﹣×4﹣2,即:a=,∴拋物線的解析式為: .
(2)∵y=(x﹣4)(x+1),∴A(﹣1,0),B(4,0).C(0,﹣2),∴KAC= =﹣2,KBC= =,∴KAC×KBC=﹣1,∴AC⊥BC,∴△ABC是以AB為斜邊的直角三角形,△ABC的外接圓的圓心是AB的中點(diǎn),△ABC的外接圓的圓心坐標(biāo)為(,0).
(3)過點(diǎn)M作x軸的垂線交BC′于H,∵B(4,0),C(0,﹣2),∴lBC:y=x﹣2,設(shè)H(t, t﹣2),M(t, ),∴S△MBC=×(HY﹣MY)(BX﹣CX)=×(t﹣2﹣)(4﹣0)=﹣t2+4t,∴當(dāng)t=2時,S有最大值4,∴M(2,﹣3).
年級 | 高中課程 | 年級 | 初中課程 |
高一 | 高一免費(fèi)課程推薦! | 初一 | 初一免費(fèi)課程推薦! |
高二 | 高二免費(fèi)課程推薦! | 初二 | 初二免費(fèi)課程推薦! |
高三 | 高三免費(fèi)課程推薦! | 初三 | 初三免費(fèi)課程推薦! |
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列四幅圖象近似刻畫兩個變量之間的關(guān)系,請按圖象順序?qū)⑾旅嫠姆N情景與之對應(yīng)排序( )
①一輛汽車在公路上勻速行駛(汽車行駛的路程與時間的關(guān)系)
②向錐形瓶中勻速注水(水面的高度與注水時間的關(guān)系)
③將常溫下的溫度計(jì)插入一杯熱水中(溫度計(jì)的讀數(shù)與時間的關(guān)系)
④一杯越來越?jīng)龅乃?/span>(水溫與時間的關(guān)系)
A. ③②④①B. ③④②①C. ①④②③D. ①②③④
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】把自然數(shù)按如圖的次序排列在直角坐標(biāo)系中,每個點(diǎn)坐標(biāo)就對應(yīng)著一個自然數(shù),例如點(diǎn)(0,0)對應(yīng)的自然數(shù)是1,點(diǎn)(1,2)對應(yīng)的自然數(shù)是14,那么點(diǎn)(1,4)對應(yīng)的自然數(shù)是____;點(diǎn)(n,n)對應(yīng)的自然數(shù)是____.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某地某月1~20日中午12時的氣溫(單位:℃)如下:
22 31 25 15 18 23 21 20 27 17 20 12 18 21 21 16 20 24 26 19
(1)將下列頻數(shù)分布表補(bǔ)充完整:
氣溫分組 | 劃記 | 頻數(shù) |
12≤x<17 | 3 | |
17≤x<22 | 10 | |
22≤x<27 | 5 | |
27≤x<32 | 2 |
(2)補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖;
(3)根據(jù)頻數(shù)分布表或頻數(shù)分布直方圖,分析數(shù)據(jù)的分布情況.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=8cm,BC=6cm.動點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、B同時開始移動,點(diǎn)P的速度為1 cm/秒,點(diǎn)Q的速度為2 cm/秒,點(diǎn)Q移動到點(diǎn)C后停止,點(diǎn)P也隨之停止運(yùn)動下列時間瞬間中,能使△PBQ的面積為15cm 的是( )
A. 2秒鐘 B. 3秒鐘 C. 4秒鐘 D. 5秒鐘
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,△P1OA1,△P2A1A2,△P3A2A3,…都是等腰直角三角形,其直角頂點(diǎn)P1(3,3),P2,P3,…均在直線y=﹣x+4上,設(shè)△P1OA1,△P2A1A2,△P3A2A3,…的面積分別為S1,S2,S3,…依據(jù)圖形所反映的規(guī)律,S2019=_____.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)y=ax+b(a≠0)的圖象與反比例函數(shù)y= (k≠0)的圖象交于第二、四象限內(nèi)的A、B兩點(diǎn),與y軸交于C點(diǎn),過點(diǎn)A作AH⊥y軸,垂足為H,OH=3,tan∠AOH=,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(m,-2).
(1)求△AHO的周長;
(2)求該反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正比例函數(shù)y=kx的圖像經(jīng)過點(diǎn)A,點(diǎn)A在第四象限.過點(diǎn)A做AH⊥x軸,垂足為點(diǎn)H,點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為3,且△AOH的面積為4.5.
(1)求該正比例函數(shù)的解析式;
(2)在x軸上是否存在一點(diǎn)P,使△AOP的面積為6?若存在,求點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,海面上B,C兩島分別位于A島的正東和正北方向.一艘船從A島出發(fā),以18海里/時的速度向正北方向航行2小時到達(dá)C島,此時測得B島在C島的南偏東43°.求A,B兩島之間的距離.(結(jié)果精確到0.1海里)(參考數(shù)據(jù):sin43°=0.68,cos43°=0.73,tan43°=0.93)
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報(bào)平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報(bào)專區(qū) | 電信詐騙舉報(bào)專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報(bào)專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報(bào)專區(qū)
違法和不良信息舉報(bào)電話:027-86699610 舉報(bào)郵箱:58377363@163.com