【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠B=90°,直線EF分別交兩直角邊AB、BC與E、F兩點(diǎn),且EF∥AC,P是斜邊AC的中點(diǎn),連接PE,PF,且AB= ,BC=

(1)當(dāng)E、F均為兩直角邊的中點(diǎn)時(shí),求證:四邊形EPFB是矩形,并求出此時(shí)EF的長(zhǎng);
(2)設(shè)EF的長(zhǎng)度為x(x>0),當(dāng)∠EPF=∠A時(shí),用含x的代數(shù)式表示EP的長(zhǎng);
(3)設(shè)△PEF的面積為S,則當(dāng)EF為多少時(shí),S有最大值,并求出該最大值.

【答案】
(1)

解:如圖1,

∵E是AB的中點(diǎn),P是AC的中點(diǎn),

∴EP∥BC,且EP= BC,

∵F是BC的中點(diǎn),

∴EP∥BF,且EP=BF,

四邊形EPFB是平行四邊形,

∵∠B=90°,

∴四邊形EPFB是矩形


(2)

解:∵AB= ,BC=

∴BE= ,BF= ,

∴EF= =1.(2)∵EF∥AC,

∴∠APE=∠PEF,∵∠EPF=∠A,

∴△APE∽△PEF.

,

∵AP=1,EF=x,

∴EP2=x,

∴EP=


(3)

解:如圖2,作FH⊥AC交AC于點(diǎn)H,

∵EF∥AC,

∴△BEF∽△BAC,

設(shè)EF=x,則BF= x,CF= x,

∴FH= CF= x,

∴S= EFFH=﹣ x2+ x=﹣ (x﹣1)2+ ,

∴當(dāng)x=1,即EF=1時(shí),S有最大值為


【解析】(1)先求出四邊形EPFB是平行四邊形,再由∠B=90°得出四邊形EPFB是矩形,利用勾股定理求出EF.(2)證明△APE∽△PEF,得出對(duì)應(yīng)邊成比例,即可得出結(jié)果.(3)作FH⊥AC交AC于點(diǎn)H,設(shè)EF=x,得出BF,CF及FH的值,再利用三角形面積求出EF及最大值,利用中位線定理即可求出EP的值.

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【題目】已知:如圖,在ABCD中,E,F(xiàn)分別是邊AD,BC上的點(diǎn),且AE=CF,直線EF分別交BA的延長(zhǎng)線、DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,H,交BD于點(diǎn)O.

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(1)這次隨機(jī)抽取的學(xué)生共有多少人?
(2)請(qǐng)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(3)這個(gè)學(xué)校九年級(jí)共有學(xué)生1200人,若分?jǐn)?shù)為80分(含80分)以上為優(yōu)秀,請(qǐng)估計(jì)這次九年級(jí)學(xué)生期末數(shù)學(xué)考試成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的學(xué)生人數(shù)大約有多少?

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【題目】為了解學(xué)生參加戶外活動(dòng)的情況,和諧中學(xué)對(duì)學(xué)生每天參加戶外活動(dòng)的時(shí)間進(jìn)行抽樣調(diào)查,并將調(diào)查結(jié)果繪制成如圖兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖,根據(jù)圖示,請(qǐng)回答下列問題:

(1)被抽樣調(diào)查的學(xué)生有 ________人,并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;

(2)每天戶外活動(dòng)時(shí)間的中位數(shù)是________ (小時(shí));

(3)該校共有2000名學(xué)生,請(qǐng)估計(jì)該校每天戶外活動(dòng)時(shí)間超過1小時(shí)的學(xué)生有________人?

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【題目】如圖,請(qǐng)?jiān)谙铝兴膫(gè)關(guān)系中,選出兩個(gè)恰當(dāng)?shù)年P(guān)系作為條件,推出四邊形ABCD是平行四邊形,并予以證明.(寫出一種即可)

關(guān)系:①ADBCAB=CD,③∠A=C④∠B+C=180°.

已知:在四邊形ABCD中,            ;

求證:四邊形ABCD是平行四邊形.

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【題目】已知:AOB= °,過點(diǎn)OOBOC.請(qǐng)畫圖示意并求解.

(1)若 =30,則AOC=________.

(2)若 =40,射線OE平分AOC , 射線OF平分BOCEOF的度數(shù);

(3)若0< <180,射線OE平分AOC射線OF平分BOC , EOF=________°.(用 的代數(shù)式表示).

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(1)觀察圖形,可以發(fā)現(xiàn)代數(shù)式可以因式分解為 ;

(2)若每塊小矩形的面積為10,四個(gè)正方形的面積和為58,試求圖中所有裁剪線(虛線部分)長(zhǎng)之和.

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A.( ,﹣
B.(4,﹣
C.( ,﹣
D.(6,﹣1)

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