Question

【題目】在△ABC中，∠BAC=45°，若BD=2，CD=3，AD⊥BC于D，將△ABD沿AB所在的直線折疊，使點(diǎn)D落在點(diǎn)E處；將△ACD沿AC所在的直線折疊，使點(diǎn)D落在點(diǎn)F處，分別延長EB、FC使其交于點(diǎn)M．

(1)判斷四邊形AEMF的形狀，并給予證明．

(2)設(shè)AD=x，利用勾股定理，建立關(guān)于x的方程模型，求四邊形AEMF的面積.

Answer 1

【答案】（1）四邊形AEMF是正方形；（2）36

【解析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)可得到∠1=∠3，∠2=∠4，AE=AE，由∠BAC=45°可判斷出∠EAF的度數(shù)，進(jìn)而可判斷出四邊形AEMF的形狀；
（2）由圖形翻折變換的性質(zhì)可知，BE=BD，CF=CD，設(shè)正方形AEMF的邊長是x，在Rt△BMC中利用勾股定理可求出x的值，由正方形的面積公式即可求出其面積．

（1）如圖，

∵ADBC

△AEB是由△ADB折疊所得

∴∠1=∠3，∠E=∠ADB=90°，BE=BD, AE=AD

又∵△AFC是由△ADC折疊所得

∴∠2=∠4，∠F=∠ADC==90°，F(xiàn)C=CD，AF=AD

∴AE=AF

又∵∠1+∠2=45°，

∴∠3+∠4=45°

∴∠EAF==90°

∴四邊形AEMF是正方形。

（2）設(shè)AD=x，則正方形AEMF的邊長為

根據(jù)題意知：BE=BD=2, CF=CD=3

∴BM=; CM=

在Rt△BMC中,由勾股定理得：

∴

解之得：， (舍去)

∴