【題目】對(duì)于二次函數(shù)y=x2-3x+2和一次函數(shù)y=-2x+4,把y=t(x2-3x+2)+(1-t)(-2x+4)稱為這兩個(gè)函數(shù)的“再生二次函數(shù)”,其中t是不為零的實(shí)數(shù),其圖象記作拋物線E.
現(xiàn)有點(diǎn)A(2,0)和拋物線E上的點(diǎn)B(-1,n),請(qǐng)完成下列任務(wù):
(1)【嘗試】
①當(dāng)t=2時(shí),拋物線E的頂點(diǎn)坐標(biāo)是.
②點(diǎn)A拋物線E上;(填“在”或“不在”),
③n=.
(2)【發(fā)現(xiàn)】通過(guò)②和③的演算可知,對(duì)于t取任何不為零的實(shí)數(shù),拋物線E總過(guò)定點(diǎn),這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)是.
(3)【應(yīng)用1】二次函數(shù)y=-3x2+5x+2是二次函數(shù)y=x2-3x+2和一次函數(shù)y=-2x+4的一個(gè)“再生二次函數(shù)”嗎?如果是,求出t的值;如果不是,說(shuō)明理由.
(4)【應(yīng)用2】以AB為一邊作矩形ABCD,使得其中一個(gè)頂點(diǎn)落在y軸上,若拋物線E經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B、C,求出所有符合條件的t的值.
【答案】
(1)(1,-2),在,6
(2)(2,0)、(-1,6)
(3)解:將x=2代入y=-3x2+5x+2,y=0,即點(diǎn)A在拋物線上.
將x=-1代入y=-3x2+5x+2,計(jì)算得:y=-6≠6,
即可得拋物線y=-3x2+5x+2不經(jīng)過(guò)點(diǎn)B,
二次函數(shù)y=-3x2+5x+2不是二次函數(shù)y=x2-3x+2和一次函數(shù)y=-2x+4的一個(gè)“再生二次函數(shù)”
(4)解:如圖,作矩形ABC1D1和ABC2D2,過(guò)點(diǎn)B作BK⊥y軸于點(diǎn)K,過(guò)B作BM⊥x軸于點(diǎn)M,
易得AM=3,BM=6,BK=1,△KBC1∽△MBA,
則:
即
求得 C 1,K=
所以點(diǎn)C1(0, ).
易知△KBC1≌△GAD1,得AG=1,GD1= ,
∴點(diǎn)D1(3, ).
易知△OAD2∽△GAD1, ,
由AG=1,OA=2,GD1= ,
求得 OD2=1,
∴點(diǎn)D2(0,-1).
易知△TBC2≌△OD2A,得TC2=AO=2,BT=OD2=1,
所以點(diǎn)C2(-3,5).
∵拋物線E總過(guò)定點(diǎn)A(2,0)、B(-1,6),
∴符合條件的三點(diǎn)可能是A、B、C或A、B、D
當(dāng)拋物線E經(jīng)過(guò)A、B、C1時(shí),將C1(0, )代入y=t(x2-3x+2)+(1-t)(-2x+4),求得t1=- ;
當(dāng)拋物線E經(jīng)過(guò)A、B、D1,A、B、C2,A、B、D2時(shí),可分別求得t2= ,t3=- ,t4= .
∴滿足條件的所有t的值為:- ; ,- ,
【解析】解:(1)【嘗試】①將t=2代入拋物線E中,得:y=t(x2-3x+2)+(1-t)(-2x+4)=2x2-4x=2(x-1)2-2,
∴此時(shí)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為:(1,-2).
②將x=2代入y=t(x2-3x+2)+(1-t)(-2x+4),得 y=0,
∴點(diǎn)A(2,0)在拋物線E上.
③將x=-1代入拋物線E的解析式中,得:
n=t(x2-3x+2)+(1-t)(-2x+4)=6.(2)【發(fā)現(xiàn)】將拋物線E的解析式展開,得:
y=t(x2-3x+2)+(1-t)(-2x+4)=t(x-2)(x+1)-2x+4
∴拋物線E必過(guò)定點(diǎn)(2,0)、(-1,6).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,AH是⊙O的直徑,矩形ABCD交⊙O于點(diǎn)E,連接AE,將矩形ABCD沿AE折疊,點(diǎn)B落在CD邊上的點(diǎn)F處,畫直線EF.
(1)求證:直線EF是⊙O的切線.
(2)若CD=10,EB=5,求⊙O的直徑.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某校為了解九年級(jí)學(xué)生的身體素質(zhì)情況,體育老師對(duì)九(1)班50位學(xué)生進(jìn)行測(cè)試,根據(jù)測(cè)試評(píng)分標(biāo)準(zhǔn),將他們的得分進(jìn)行統(tǒng)計(jì)后分為A,B,C,D四等,并繪制成如圖所示的頻數(shù)分布表和扇形統(tǒng)計(jì)圖.
等第 | 成績(jī)(得分) | 頻數(shù)(人數(shù)) | 頻率 |
A | 10分 | 7 | 0.14 |
9分 | x | m | |
B | 8分 | 15 | 0.30 |
7分 | 8 | 0.16 | |
C | 6分 | 4 | 0.08 |
5分 | y | n | |
5分以下 | 3 | 0.06 | |
合計(jì) | 50 | 1 |
(1)直接寫出:m,x,y;
(2)求表示得分為C等的扇形的圓心角的度數(shù);
(3)如果該校九年級(jí)共有700名學(xué)生,試估計(jì)這700名學(xué)生中成績(jī)達(dá)到A等和B等的人數(shù)共有多少人?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示為一個(gè)污水凈化塔內(nèi)部,污水從上方入口進(jìn)入后流經(jīng)形如等腰直角三角形的凈化材料表面,流向如圖中箭頭所示,每一次水流流經(jīng)三角形兩腰的機(jī)會(huì)相同,經(jīng)過(guò)四層凈化后流入底部的5個(gè)出口中的一個(gè).下列判斷:①5個(gè)出口的出水量相同;②2號(hào)出口的出水量與4號(hào)出口的出水量相同;③1,2,3號(hào)出水口的出水量之比約為1:4:6;④若凈化材料損耗速度與流經(jīng)其表面水的數(shù)量成正比,則更換最慢一個(gè)三角形材料使用的時(shí)間約為更換一個(gè)三角形材料使用時(shí)間的8倍,其中正確的判斷有( )
A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】中學(xué)生帶手機(jī)上學(xué)的現(xiàn)象越來(lái)越受到社會(huì)的關(guān)注,為此,某記者隨機(jī)調(diào)查了某城區(qū)若干名學(xué)生家長(zhǎng)對(duì)這種現(xiàn)象的態(tài)度(態(tài)度分為:A:無(wú)所謂;B:基本贊成;C:贊成;D:反對(duì)),并將調(diào)查結(jié)果繪制成頻數(shù)折線圖1和統(tǒng)計(jì)圖2(不完整)。請(qǐng)根據(jù)圖中提供的信息,解答下列問(wèn)題:
(1)此次抽樣檢查中,共調(diào)查了 名學(xué)生家長(zhǎng);
(2)將圖1補(bǔ)充完整;
(3)根據(jù)抽樣檢查的結(jié)果,請(qǐng)你估計(jì)該市城區(qū)6000名中學(xué)生家長(zhǎng)中有多少名家長(zhǎng)持反對(duì)態(tài)度?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】一次期中考試中,甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)的數(shù)學(xué)、英語(yǔ)成績(jī)等有關(guān)信息如下表所示(單位:分):
(1)求這五位同學(xué)在本次考試中數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分和英語(yǔ)成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差;
(2)為了比較不同學(xué)科考試成績(jī)的好與差,采用標(biāo)準(zhǔn)分是一個(gè)合理的選擇,標(biāo)準(zhǔn)分的計(jì)算公式:標(biāo)準(zhǔn)分=(個(gè)人成績(jī)-平均成績(jī))÷成績(jī)標(biāo)準(zhǔn)差.
從標(biāo)準(zhǔn)分看,標(biāo)準(zhǔn)分大的考試成績(jī)更好,請(qǐng)問(wèn)甲同學(xué)在本次考試中,數(shù)學(xué)與英語(yǔ)哪個(gè)學(xué)科考得更好?
甲 | 乙 | 丙 | 丁 | 戊 | 平均分 | 標(biāo)準(zhǔn)差 | |
數(shù)學(xué) | 71 | 72 | 69 | 68 | 70 | ||
英語(yǔ) | 88 | 82 | 94 | 85 | 76 | 85 |
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠A=90°,∠C=30°,AD⊥BC于D,BE是∠ABC的平分線,且交AD于P,如果AP=2,則AC的長(zhǎng)為( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(探究)如圖①,從邊長(zhǎng)為a的大正方形中剪掉一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形,有陰影部分沿虛線剪開,拼成圖②的長(zhǎng)方形
(1)請(qǐng)你分別表示出這兩個(gè)圖形中陰影部分的面積
(2)比較兩圖的陰影部分面積,可以得到乘法公式 (用字母表示)
(應(yīng)用)請(qǐng)應(yīng)用這個(gè)公式完成下列各題
①已知,,則的值為
②計(jì)算:
(拓展)①結(jié)果的個(gè)位數(shù)字為
②計(jì)算:
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列各式,屬于二元一次方程的個(gè)數(shù)有( 。
①xy+2x﹣y=7;②4x+1=x﹣y;③+y=5;④x=y;⑤x2﹣y2=2;⑥6x﹣2y;⑦x+y+z=1;⑧y(y﹣1)=2x2﹣y2+xy
A.1B.2C.3D.4
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