Question

如下圖，已知BE、CD分別是△ABC的角平分線，并且AE⊥BE于E點，AD⊥DC于D點．
求證：（1）DE∥BC；（2）DE=

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(AB+AC-BC)．

Answer 1

分析：延長AD、AE分別交BC于F、G；△ABG中，BE是∠ABG的角平分線，且是底邊AG的高，易證得△ABG是等腰三角形，則E是AG中點；同理可知D是AF的中點；那么DE即為△AFG的中位線，由此證得DE∥BC，DE=

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FG；而FG=BG+CF-BC=AB+AC-BC，由此可證得（2）的結論．

解答：證明：（1）延長AD、AE，交BC于F、G；
∵BE⊥AG，
∴∠AEB=∠BEG=90°；
∵BE平分∠ABG，
∴∠ABE=∠GBE；
∴∠BAE=∠BGE；
∴△ABG是等腰三角形；
∴AB=BG，E是AG中點；
同理可得：AC=CF，D是AF中點；
∴DE是△AFG的中位線；
∴DE∥BC．

（2）由（1）知DE是△AFG的中位線，
∴DE=

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FG；
∵FG=BG+CF-BC，且AB=BG，AC=CF；
∴FG=AB+AC-BC，即DE=

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2

（AB+AC-BC）．

點評：此題主要考查的是等腰三角形的判定和性質以及三角形中位線定理的應用；能夠正確的構建出△ABG、△ACF兩個等腰三角形是解答此題的關鍵．