Question

如圖，矩形ABCD的邊AD、AB分別與⊙O相切于點E、F，AE=

3

（1）求

EF

的長；
（2）若AD=

3

+5，直線MN分別交射線DA、DC于點M、N，∠DMN=60°，將直線MN沿射線DA方向平移，設(shè)點D到直線的距離為d，當(dāng)時1≤d≤4，請判斷直線MN與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

（1）連接OE、OF，
∵矩形ABCD的邊AD、AB分別與⊙O相切于點E、F，
∴∠A=90°，∠OEA=∠OFA=90°
∴四邊形AFOE是正方形
∴∠EOF=90°，OE=AE=

3

∴

EF

的長=

90π× 3

180

=

3

2

π．

（2）如圖，將直線MN沿射線DA方向平移，當(dāng)其與⊙O相切時，記為M₁N₁，切點為R，交AD于M₁，交BC于N₁，
連接OM₁、OR，
∵M₁N₁∥MN
∴∠DM₁N₁=∠DMN=60°
∴∠EM₁N₁=120°
∵MA、M₁N₁切⊙O于點E、R
∴∠EM₁O=

1

2

∠EM₁N₁=60°
在Rt△EM₁O中，EM₁=

OE

tan∠EM1O

=

3

tan60°

=1
∴DM₁=AD-AE-EM₁=

3

+5-

3

-1=4．
過點D作DK⊥M₁N₁于K
在Rt△DM₁K中
DK=DM₁×sin∠DM₁K=4×sin∠60°=2

3

即d=2

3

，
∴當(dāng)d=2

3

時，直線MN與⊙O相切，
當(dāng)1≤d＜2

3

時，直線MN與⊙O相離，
當(dāng)直線MN平移到過圓心O時，記為M₂N₂，點D到M₂N₂的距離d=DK+OR=2

3

+

3

=3

3

＞4，
∴當(dāng)2

3

＜d≤4時，MN直線與⊙O相交．