Question

拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于A（-1，0），B（3，0）兩點(diǎn)．
（1）求該拋物線的表達(dá)式；
（2）設(shè)該拋物線交y軸于C點(diǎn)，在該拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使得Q點(diǎn)到A點(diǎn)與C點(diǎn)的距離之和最短？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）可將A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線中即可求出待定系數(shù)的值．也就能求出拋物線的解析式．
（2）本題的關(guān)鍵是確定Q點(diǎn)的坐標(biāo)，由于A、B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，因此連接BC，BC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)就是Q點(diǎn)的坐標(biāo)，可先根據(jù)B、C的坐標(biāo)確定出直線BC的解析式，然后根據(jù)拋物線對(duì)稱軸的解析式即可求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（1）將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入方程

-1-b+c=0 -9+3b+c=0

解得

b=2 c=3

．
∴y=-x²+2x+3．

（2）拋物線的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)Q使得△QAC的周長(zhǎng)最小．
∵A點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為B點(diǎn)，BC與x=1的交點(diǎn)就是Q點(diǎn)．
由（1）可知C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3）
設(shè)BC方程為y=kx+b
將B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入

0+b=3 3k+b=0

．
解得

k=-1 b=3

．
∴y=-x+3．
當(dāng)x=1時(shí)，y=2△QAC的周長(zhǎng)最小．
因此存在這樣的Q點(diǎn)，且Q的坐標(biāo)為（1，2）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及二次函數(shù)的應(yīng)用，（2）中確定Q點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．