Question

如圖，已知直線y=x+2與兩坐標(biāo)軸分別交于A、B兩點(diǎn)，拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B，P為直線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作x軸的垂線與拋物線交于C點(diǎn)．
（1）拋物線的解析式；
（2）設(shè)拋物線與x軸另一個(gè)交點(diǎn)為D，連接AD，證明：△ABD為直角三角形；
（3）在直線AB上是否存在一點(diǎn)P，使得以O(shè)、A、P、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）令一次函數(shù)y=x+2中x=0，求出對(duì)應(yīng)y的值，即為A的縱坐標(biāo)，令y=0，求出對(duì)應(yīng)x的值，即為B的橫坐標(biāo)，確定出A和B的坐標(biāo)，將A和B的坐標(biāo)代入y=x²+bx+c中，得到關(guān)于b與c的方程組，求出方程組的解集得到b和c的值，確定出拋物線的解析式；
（2）連接AD，如圖所示，由拋物線的解析式，令y=0求出x的值，得到D的橫坐標(biāo)，確定出OD的長(zhǎng)，在直角三角形AOD中，由AO及OD的長(zhǎng)，利用勾股定理求出AD的長(zhǎng)，再由OD+OB求出BD的長(zhǎng)，在直角三角形AOB中，由OA與OB的長(zhǎng)，利用勾股定理求出AB的長(zhǎng)，由AD，AB及BD的長(zhǎng)，得到BD²=AB²+AD²，利用勾股定理的逆定理得到三角形ABD為直角三角形；
（3）存在，由P為直線上的點(diǎn)設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，P與C的橫坐標(biāo)相同，進(jìn)而由C在拋物線上確定出C的坐標(biāo)，分三種情況考慮：當(dāng)P在第一象限時(shí)，畫出相應(yīng)的圖形，如圖所示，根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊相等，得到OA=CP，由OA的長(zhǎng)得到CP的長(zhǎng)，即為C與P縱坐標(biāo)之差，列出關(guān)于x的方程，求出方程的解即可得到x的值，確定出此時(shí)P的坐標(biāo)；當(dāng)P在第二象限時(shí)，如圖所示，根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊相等得到OA=PC，由OA的長(zhǎng)得到CP的長(zhǎng)，即為P與C的縱坐標(biāo)之差，列出關(guān)于x的方程，求出方程的解即可得到x的值，確定出此時(shí)P的坐標(biāo)；當(dāng)P在第四象限時(shí)，如圖所示，根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊相等得到OA=PC，由OA的長(zhǎng)得到CP的長(zhǎng)，即為P與C的縱坐標(biāo)之差，列出關(guān)于x的方程，求出方程的解即可得到x的值，確定出此時(shí)P的坐標(biāo)，綜上，得到所有滿足題意的P的坐標(biāo)．
解答：解：（1）∵直線y=x+2與x軸交于點(diǎn)B，
∴令y=0得x+2=0，解得x=4，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，0），
∵直線y=x+2與y軸交于點(diǎn)A，
∴令x=0，解得y=2，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，2），
∵拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B，
∴把（0，2），（4，0）分別代入y=x²+bx+c得：，
解得，
∴拋物線的解析式為y=-x²+x+2；

（2）連接AD，如圖所示：

∵拋物線與x軸另一個(gè)交點(diǎn)為D，
∴令y=0得-x²+x+2=0，解得x₁=4，x₂=-1，
又點(diǎn)D在x軸的負(fù)半軸上，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-1，0），
在直角三角形AOB中，OA=2，OB=4，
根據(jù)勾股定理得：AB²=2²+4²=20，
在直角三角形AOD中，OA=2，OD=1，
根據(jù)勾股定理得：AD²=2²+1²=5，
又BD²=（OD+OB）²=（1+4）²=25，
∴BD²=AB²+AD²，
則△ABD為直角三角形；

（3）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，-x+2），
∵PC⊥x軸，
∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為x，又點(diǎn)C在拋物線上，
∴點(diǎn)C（x，-x²+x+2），
①當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時(shí)，假設(shè)存在這樣的點(diǎn)P，使AOPC為平行四邊形，

則OA=PC=2，即-x²+x+2-（-x+2）=2，
化簡(jiǎn)得：x²-4x+4=0，
解得x=2或x=-2（舍去）
把x=2代入y=-x+2=1，
則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，1）；
②當(dāng)點(diǎn)P在第二象限時(shí)，假設(shè)存在這樣的點(diǎn)P，使AOCP為平行四邊形，

則OA=PC=2，即-x+2-（-x²+x+2）=2，
化簡(jiǎn)得：x²-4x-4=0，
解得：x=2+2（舍去）或x=2-2，
把x=2-2代入y=-x+2=1+，
則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2-2，1+）；
③當(dāng)點(diǎn)P在第四象限時(shí)，假設(shè)存在這樣的點(diǎn)P，使AOCP為平行四邊形，

則OA=PC=2，即-x+2-（-x²+x+2）=2，
化簡(jiǎn)得：x²-4x-4=0，
解得：x=2+2或x=2-2（舍去），
把x=2+2代入y=-x+2=1-，
則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2+2，1-），
綜上，使以O(shè)、A、P、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，
滿足的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，1）；（2-2，1+）；（2+2，1-）．
點(diǎn)評(píng)：此題屬于二次函數(shù)的綜合題，結(jié)合了平行四邊形的性質(zhì)，二元一次方程組，及坐標(biāo)系的有關(guān)知識(shí)為一體，考查了學(xué)生綜合解決問(wèn)題的能力，同時(shí)體現(xiàn)了分類討論的思想，分類思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，在分類討論、分情況證明數(shù)學(xué)命題時(shí)，必須認(rèn)真審題，全面考慮．做到不重不漏，一次分類必須按照統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行，分出的每一部分都是相互獨(dú)立的，分類思想一般根據(jù)數(shù)量差異與位置差異進(jìn)行分類．