Question

如圖，在△ABC中，點O是AC邊上（端點除外）的一個動點，過點O作直線MN∥BC.設MN交∠BCA的平分線于點E,交∠BCA的外角平分線于點F，連接AE、AF。
（1）那么當點O運動到何處時，四邊形AECF是矩形？并說明理由。
（2）在(1)的前提下△ABC滿足什么條件,四邊形AECF是正方形？(直接寫出答案,無需證明)。

Answer 1

（1）當O運動到AC中點時，四邊形AECF是矩形，理由詳見解析. (2)當△ABC為直角三角形且∠BCA=90°時四邊形AECF是正方形，理由詳見解析.

試題分析：根據(jù)矩形的判定定理選擇合適的判定方法，巧妙運用平行線和角平分線即可解答.
（1）當O運動到AC中點時，四邊形AECF是矩形.
證明：如圖所示∵O運動到AC中點，∴OA=OC=，∵MN∥BC，∴∠1=∠2(兩直線平行，內錯角相等)∵CF為∠BCA的外角平分線∴∠1=∠3，∴∠2=∠3∴OF=OC（△COF為等腰三角形），同理可得OE=OC
∵OA=OC，OF=OC，OE=OC∴OA=OC=OE=OF即EF、AC相互平分，且AC=EF，∴四邊形AECF是矩形.（兩對角線相互平分且相等）.
(2)當△ABC為直角三角形且∠BCA=90°時四邊形AECF是正方形.
證明∵MN∥BC∴∠AOE=∠BCA=90°即AC⊥EF，又∵四邊形AECF是矩形，∴四邊形AECF是正方形（矩形判定定理：對角線互相垂直的矩形是正方形）.