【題目】如圖1,ABC的邊BC在直線l上,ACBC,且AC=BC;EFP的邊FP也在直線l上,邊EF與邊AC重合,且EF=FP.

(1)示例:在圖1中,通過觀察、測量,猜想并寫出ABAP所滿足的數(shù)量關系和位置關系.

答:ABAP的數(shù)量關系和位置關系分別是   、   

(2)將EFP沿直線l向左平移到圖2的位置時,EPAC于點Q,連結AP,BQ.請你觀察、測量,猜想并寫出BQAP所滿足的數(shù)量關系和位置關系.答:BQAP的數(shù)量關系和位置關系分別是   、   

(3)將EFP沿直線l向左平移到圖3的位置時,EP的延長線交AC的延長線于點Q,連結AP、BQ.你認為(2)中所猜想的BQAP的數(shù)量關系和位置關系還成立嗎?若成立,給出證明;若不成立,請說明理由.

【答案】(1)AB=AP,ABAP;(2)BQ=AP,BQAP;(3)成立,證明詳見解析.

【解析】試題分析:(1)由于AC⊥BC,且AC=BC,邊EF與邊AC重合,且EF=FP,則△ABC△EFP是全等的等腰直角三角形,根據(jù)等腰直角三角形的性質得到∠BAC=∠CAP=45°AB=AP,則∠BAP=90°,于是AP⊥AB;

2)延長BOAPH點,可得到△OPC為等腰直角三角形,則有OC=PC,根據(jù)“SAS”可判斷△ACP≌△BCO,則AP=BO∠CAP=∠CBO,利用三角形內角和定理可得到∠AHO=∠BCO=90°,即AP⊥BO

3BOAP所滿足的數(shù)量關系為相等,位置關系為垂直.證明方法與(2)一樣.

試題解析:(1AB=APAB⊥AP;

2BQ=AP,BQ⊥AP

3)成立.理由如下:

∵∠EPF=45°,∴∠CPQ=45°

∵AC⊥BC,∴∠CQP=∠CPQ,CQ=CP

Rt△BCQRt△ACP中,∵BC=AC,∠BCQ=∠ACP,CQ=CP,∴Rt△BCQ≌Rt△ACPSAS),

∴BQ=AP;

延長QBAP于點N,∴∠PBN=∠CBQ

∵Rt△BCQ≌Rt△ACP∴∠BQC=∠APC

Rt△BCQ中,∵∠BCQ+∠CBQ=90°,∴∠APC+∠PBN=90°,∴∠PNB=90°,∴QB⊥AP

練習冊系列答案
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