Question

【題目】閱讀下列材料，回答問(wèn)題.

材料：求圓外一定點(diǎn)到圓上距離最小值是安徽省中考數(shù)學(xué)較為常見(jiàn)的一種題型，此類(lèi)題型試題有時(shí)出題者將圓隱藏，故又稱(chēng)為“隱圓問(wèn)題”.解決這類(lèi)問(wèn)題，關(guān)鍵是要找到動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，即該動(dòng)點(diǎn)是繞哪一個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，且能保持旋轉(zhuǎn)半徑不變.從而找到動(dòng)點(diǎn)所在的隱藏圓，進(jìn)面轉(zhuǎn)換成圓外一點(diǎn)到圓心的距離減半徑，求得最小值.

解決問(wèn)題：

（1）如圖①，圓O的半徑為1，圓外一點(diǎn)A到圓心的距離為3，圓上一動(dòng)點(diǎn)B，當(dāng)A、O、B滿(mǎn)足條件____________時(shí)，有最小值為____________.

（2）如圖②，等腰兩腰長(zhǎng)為5，底邊長(zhǎng)為6，以A為圓心，2為半徑作圓，圓上動(dòng)點(diǎn)P到的距離最小值為__________.

（3）如圖③，，P、Q分別是射線(xiàn)、上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，C是線(xiàn)段的中點(diǎn)，且，則在線(xiàn)段滑動(dòng)的過(guò)程中，求點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)形成的路徑長(zhǎng)，并說(shuō)明理由.

（4）如圖④，在矩形中，，，點(diǎn)E是中點(diǎn)，點(diǎn)F是上一點(diǎn)，把沿著翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)處，求的最小值，并說(shuō)明理由.

（5）如圖⑤，在中，，，，以邊中點(diǎn)O為圓心，作半圓與相切，點(diǎn)P，Q分別是邊和半圓上的動(dòng)點(diǎn)，連接，求長(zhǎng)的最小值，并說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）A，B，O在一條直線(xiàn)上（或）；2；（2）2；（3），見(jiàn)解析；（4），見(jiàn)解析；（5）1，見(jiàn)解析.

【解析】

（1）根據(jù)最小距離等于圓外一點(diǎn)到圓心的距離減去半徑可得到最小值，這時(shí)A，B，O在一條直線(xiàn)上；

（2）作AD⊥BC于點(diǎn)D，利用等腰三角形的性質(zhì)及勾股定理求出AD的長(zhǎng)度，用AD的長(zhǎng)度減去半徑即為圓上動(dòng)點(diǎn)P到的距離最小值；

（3）根據(jù)點(diǎn)C與點(diǎn)O之間的距離永遠(yuǎn)不變說(shuō)明點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡為圓，利用弧長(zhǎng)公式求路徑長(zhǎng)即可；

（4）先根據(jù)EB為定值，確定點(diǎn)B’的運(yùn)動(dòng)軌跡，然后當(dāng)D,B’,E三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，DB’最小，利用勾股定理求出DE的長(zhǎng)度，再減去半徑即可；

（5）過(guò)O點(diǎn)作，利用三角形中線(xiàn)的性質(zhì)得出OP,OQ 的長(zhǎng)度，從而求出PQ的最小值.

（1）根據(jù)最小距離等于圓外一點(diǎn)到圓心的距離減去半徑可得到最小值，有最小值為3-1=2此時(shí)A，B，O在一條直線(xiàn)上（或）；

（2）如圖，作AD⊥BC于點(diǎn)D

∵

由勾股定理得

點(diǎn)P到的距離最小值為

（3）如圖，連接，

∵，C是中點(diǎn)，，∴所以C是以O為圓心，半徑為2的圓上，所以

（4）如圖，連接DE

因?yàn)辄c(diǎn)E是定點(diǎn)，，所以的軌跡為以E為圓心，2為半徑的圓上.，∴的最小值為

（5）如圖，過(guò)O點(diǎn)作，交圓O于點(diǎn)Q，

由三角形中線(xiàn)的性質(zhì)得，，所以最小值為1