【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是(-2,0)、(0,4).動(dòng)點(diǎn)P從O出發(fā),沿x軸正方向以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng),同時(shí)動(dòng)點(diǎn)C以每秒2個(gè)單位的速度在y軸上從點(diǎn)B出發(fā)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)O停止,點(diǎn)C停止運(yùn)動(dòng)時(shí)點(diǎn)P也隨之停止運(yùn)動(dòng).以CP、CO為鄰邊構(gòu)造PCOD,在線段OP的延長線長取點(diǎn)E,使得PE=2.設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.

(1)求證:四邊形ADEC是平行四邊形

(2)以線段PE為對(duì)角線作正方形MPNE,點(diǎn)M、N分別在第一、四象限.

①當(dāng)點(diǎn)M、N中有一點(diǎn)落在四邊形ADEC的邊上時(shí),求出所有滿足條件的t的值;

②若點(diǎn)M、N中恰好只有一點(diǎn)落在四邊形ADEC的內(nèi)部(不包括邊界)時(shí),設(shè)PCOD的面積為S,直接寫出S的取值范圍.

【答案】1證明見解析;(2)t=或t=1;(3)S<2.

【解析】

試題分析:(1)連接CD交OP于點(diǎn)G,由PCOD的對(duì)角線互相平分,得四邊形ADEC是平行四邊形;

(2)第一種情況,當(dāng)點(diǎn)M在CE邊上時(shí),由EMF∽△ECO,再利用正方形對(duì)角線相等求解;第二種情況,當(dāng)點(diǎn)N在DE邊上時(shí),由EFN∽△EPD,再利用正方形對(duì)角線相等求解;

當(dāng)t1時(shí),求出S的取值范圍.

試題解析:(1)如圖1,連接CD交AE于F,

四邊形PCOD是平行四邊形,

CF=DP,OF=PF,

PE=AO,

AF=EF,又CF=DP,

四邊形ADEC為平行四邊形;

(2)當(dāng)M點(diǎn)在CE上時(shí),第一種情況:如圖,當(dāng)點(diǎn)M在CE邊上時(shí),

MFOC,

∴△EMF∽△ECO,

,

四邊形MPNE為正方形,

MF=EF,

CO=EO,即4-2t=t+2,

t=;

第二種情況:當(dāng)點(diǎn)N在DE邊時(shí),

NFPD,

∴△EFN∽△EPD,

,

四邊形MPNE為正方形,

NF=EF,

PD=PE,即4-2t=2,

t=1;

當(dāng)點(diǎn)M、N中有一點(diǎn)落在四邊形ADEC的邊上時(shí),所有滿足條件的t的值為t=或t=1;

②∵t1,

S=(4-2t)t=-2t2+4t=-2(t-1)2+2,

點(diǎn)M、N中恰好只有一點(diǎn)落在四邊形ADEC的內(nèi)部(不包括邊界)時(shí),S<2.

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解答下列問題:

(1)填空:AB= cm;

(2)當(dāng)t為何值時(shí),PEBD;

(3)設(shè)四邊形APFE的面積為y(cm2

①求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式;

②若用S表示圖形的面積,則是否存在某一時(shí)刻t,使得S四邊形APFE=S菱形ABCD?若存在,求出t的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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