【題目】如圖,二次函數(shù)的圖象與軸交于A(-1,0),B(3,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C.該拋物線的頂點(diǎn)為M.

(1)求該拋物線的解析式;

(2)判斷BCM的形狀,并說明理由.

(3)探究坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)P,使得以點(diǎn)P,A,C為頂點(diǎn)的三角形與BCM相似?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說明理由.

【答案】(1;(2BCMRt;(3O00),P10, ),P29,0).

【解析】試題分析:(1)已知拋物線圖象上的三點(diǎn)坐標(biāo),可用待定系數(shù)法求出該拋物線的解析式;

2)根據(jù)BC、M的坐標(biāo),可求得△BCM三邊的長(zhǎng),然后判斷這三條邊的長(zhǎng)是否符合勾股定理即可;

3)假設(shè)存在符合條件的P點(diǎn);首先連接AC,根據(jù)A、C的坐標(biāo)及(2)題所得△BDC三邊的比例關(guān)系,即可判斷出點(diǎn)O符合P點(diǎn)的要求,因此以PA、C為頂點(diǎn)的三角形也必與△COA相似,那么分別過AC作線段AC的垂線,這兩條垂線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)也符合點(diǎn)P點(diǎn)要求,可根據(jù)相似三角形的性質(zhì)(或射影定理)求得OP的長(zhǎng),也就得到了點(diǎn)P的坐標(biāo).

解:(1二次函數(shù)y=ax2+bx﹣3的圖象與x軸交于A﹣1,0),B3,0)兩點(diǎn),

解得:,

則拋物線解析式為y=x2﹣2x﹣3;

2△BCM為直角三角形,理由為:

對(duì)于拋物線解析式y=x2﹣2x﹣3=x﹣12﹣4,即頂點(diǎn)M坐標(biāo)為(1,﹣4),

x=0,得到y=﹣3,即C0,﹣3),

根據(jù)勾股定理得:BC=3,BM=2,CM=

∵BM2=BC2+CM2,

∴△BCM為直角三角形;

3)若∠APC=90°,即P點(diǎn)和O點(diǎn)重合,如圖1,

連接AC,

∵∠AOC=∠MCB=90°,且=,

∴Rt△AOC∽R(shí)t△MCB

此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0).

P點(diǎn)在y軸上,則∠PAC=90°,如圖2,過AAP1⊥ACy軸正半軸于P1,

∵Rt△CAP1∽R(shí)t△COA∽R(shí)t△BCM,

=

=,

點(diǎn)P10,).

P點(diǎn)在x軸上,則∠PCA=90°,如圖3,過CCP2⊥ACx軸正半軸于P2

∵Rt△P2CA∽R(shí)t△COA∽R(shí)t△BCM,

=,

=AP2=10,

點(diǎn)P29,0).

符合條件的點(diǎn)有三個(gè):O0,0),P10,),P290).

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