Question

（1）如圖1，在△ABC中，若E、F分別是AB、BC的中點，則EF與AC的數量關系和位置關系分別為：______；
（2）如圖2，任意四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是四條邊的中點，則四邊形EFGH的形狀是______，并說明理由；
（3）若四邊形ABCD是矩形，則連接其四邊中點E、F、G、H，則四邊形EFGH的形狀是______，若四邊形ABCD是菱形，連接其四邊中點E、F、G、H，則四邊形EFGH的形狀是______；
（4）圖2中，若四邊形．EFGH是矩形，則四邊形ABCD應滿足的條件是______．

Answer 1

解：（1）EF與AC的數量關系和位置關系分別為：EF=AC，EF∥AC；

（2）四邊形EFGH的形狀是平行四邊形．
證明：如圖，連接AC，BD．
∵E、F、G、H分別是四條邊的中點，
∴EH=BD=FG，EF=AC=HG．
∴四邊形EFGH是平行四邊形．

（3）當四邊形ABCD是矩形時，四邊形EFGH的形狀是菱形；
當四邊形ABCD是菱形時，四邊形EFGH的形狀是矩形；

（4）圖2中，若四邊形EFGH是矩形，則四邊形ABCD應滿足的條件是對角線互相垂直．
分析：（1）根據三角形的中位線平行與第三邊且等于第三邊的一半，進行填空即可．
（2）根據三角形的中位線的性質，結合對邊分別相等的四邊形是平行四邊形進行判斷．
（3）矩形的對角線相等，可得平行四邊形的一組鄰邊相等，所以四邊形EFGH的形狀是菱形；若四邊形ABCD是菱形，菱形的對角線互相垂直，可證平行四邊形的一個角是直角，所以四邊形EFGH的形狀是矩形．
（4）矩形是一個角是直角的平行四邊形，所以四邊形ABCD應滿足的條件是對角線互相垂直．
點評：本題考查的是利用平行四邊形的性質結合三角形的中位線的性質來解決有關四邊形的形狀的問題．