【題目】如圖,已知點,二次函數(shù)的對稱軸為直線,其圖象過點軸交于另一點,與軸交于點.

(1)求二次函數(shù)的解析式,寫出頂點坐標;

(2)動點同時從點出發(fā),均以每秒2個單位長度的速度分別沿邊上運動,設(shè)其運動的時間為秒,當其中一個點到達終點時,另一個點也隨之停止運動.連結(jié),將沿翻折,若點恰好落在拋物線弧上的處,試求的值及點的坐標;

(3)在(2)的條件下,QBN的中點,試探究坐標軸上是否存在點,使得以為頂點的三角形與相似?如果存在,請求出點的坐標;如果不存在,試說明理由.

【答案】(1),頂點坐標為;(2), ;(3)存在, , , .

【解析】(1)由拋物線對稱軸為-1,并過點A(3,0)可求出a、b,從而求出拋物線解析式和頂點坐標.

(2)由A,B,C坐標可得出∠CBA=60°再由BM=BN推出△MBN是正三角形,翻折后△BMN≌ 推出M∥MB從而得到(1-3t, t),把代入即可求解。

(3)分兩種情況討論點P的存在性,即點P在x軸上;和點P在y軸上.

解:(1)由題意得, ,解得:

二次函數(shù)的解析式為

,其頂點坐標為.

(2)由題意知, ,

,是正三角形. .

沿翻折后, ,

.

若點在拋物線上,則有

化簡得: , .

此時, , .

(3)由題意可得為直角三角形,

.

分二種情況討論:

1),當軸上時,過軸于,則,此時; 過軸于,則,此時; 軸上其他位置時,三角形不為直角三角形,不可能與相似.

2),同理,當點在y軸上時,設(shè)軸于,則,此時;過y軸于,但不相似, 軸上其他位置時,三角形不為直角三角形,不可能與相似.

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