【題目】如圖,以點(diǎn)P(﹣1,0)為圓心的圓,交x軸于B、C兩點(diǎn)(B在C的左側(cè)),交y軸于A、D兩點(diǎn)(A在D的下方),AD=2,將△ABC繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)180°,得到△MCB.
(1)求B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)請?jiān)趫D中畫出線段MB、MC,并判斷四邊形ACMB的形狀(不必證明),求出點(diǎn)M的坐標(biāo);
(3)動直線l從與BM重合的位置開始繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn),到與BC重合時停止,設(shè)直線l與CM交點(diǎn)為E,點(diǎn)Q為BE的中點(diǎn),過點(diǎn)E作EG⊥BC于G,連接MQ、QG.請問在旋轉(zhuǎn)過程中∠MQG的大小是否變化?若不變,求出∠MQG的度數(shù);若變化,請說明理由.
【答案】(1)B(﹣﹣1,0),C(﹣1,0);
(2)(﹣2,1);
(3)∠MQG的大小不變,始終等于135°,理由見解析.
【解析】試題分析:(1)連接PA,運(yùn)用垂徑定理及勾股定理即可求出圓的半徑,從而可以求出B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo).
(2)由于圓P是中心對稱圖形,顯然射線AP與圓P的交點(diǎn)就是所需畫的點(diǎn)M,連接MB、MC即可;易證四邊形ACMB是矩形;過點(diǎn)M作MH⊥BC,垂足為H,易證△MHP≌△AOP,從而求出MH、OH的長,進(jìn)而得到點(diǎn)M的坐標(biāo).
(3)易證點(diǎn)E、M、B、G在以點(diǎn)Q為圓心,QB為半徑的圓上,從而得到∠MQG=2∠MBG.由等腰直角三角形和等腰三角形的性質(zhì)得出∠PCA=67.5°,從而得到∠MBG=67.5°,進(jìn)而得到∠MQG=135°,即∠MQG的度數(shù)是定值.
試題解析:解:(1)連接PA,如圖1所示.
∵PO⊥AD,∴AO=DO.
∵AD=2,∴OA=1.
∵點(diǎn)P坐標(biāo)為(﹣1,0),∴OP=1,∴PA=== ,∴BP=CP=,∴OB=+1,OC=﹣1,∴B(﹣﹣1,0),C(﹣1,0).
(2)連接AP,延長AP交⊙P于點(diǎn)M,連接MB、MC.
如圖2所示,線段MB、MC即為所求作.
四邊形ACMB是矩形.理由如下:
∵△MCB由△ABC繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)180°所得,∴四邊形ACMB是平行四邊形.
∵BC是⊙P的直徑,∴∠CAB=90°,∴平行四邊形ACMB是矩形.
過點(diǎn)M作MH⊥BC,垂足為H,如圖2所示.
在△MHP和△AOP中,∵∠MHP=∠AOP,∠HPM=∠OPA,PM=PM,∴△MHP≌△AOP(AAS),∴MH=OA=1,PH=PO=1,∴OH=2,∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(﹣2,1).
(3)在旋轉(zhuǎn)過程中∠MQG的大小不變.
∵四邊形ACMB是矩形,∴∠BMC=90°.
∵EG⊥BO,∴∠BGE=90°,∴∠BMC=∠BGE=90°.
∵點(diǎn)Q是BE的中點(diǎn),∴QM=QE=QB=QG,∴點(diǎn)E、M、B、G在以點(diǎn)Q為圓心,QB為半徑的圓上,如圖3所示,∴∠MQG=2∠MBG.
∵OA=OP=1,∠AOP=90°,∴∠APC=45°,∵PC=PA,∴∠PCA=∠PAC=(180°-45°)=67.5°,∴∠MBC=∠BCA=67.5°,∴∠MQG=135°,∴在旋轉(zhuǎn)過程中∠MQG的大小不變,始終等于135°.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,以A為圓心,任意長為半徑畫弧分別交AB、AC于點(diǎn)M和N,再分別以M、N為圓心,大于MN的長為半徑畫弧,兩弧交于點(diǎn)P,連接AP,并廷長交BC于點(diǎn)D,則下列說法中正確的個數(shù)是( 。
①AD是∠BAC的平分線
②∠ADC=60°
③點(diǎn)D在AB的垂直平分線上
④若AD=2dm,則點(diǎn)D到AB的距離是1dm
⑤S△DAC:S△DAB=1:2
A.2B.3C.4D.5
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【題目】如圖,在中,,,且面積是24,的垂直平分線分別交邊于點(diǎn),若點(diǎn)為邊的中點(diǎn),點(diǎn)為線段上一動點(diǎn),則周長的最小值為( )
A.9B.10C.11D.12
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB、AC的垂直平分線l1、l2相交于點(diǎn)O,若∠BAC等于82°,則∠OBC等于( )
A. 8°B. 9°C. 10°D. 11°
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,已知AB=AC,D為∠BAC的角平分線上面一點(diǎn),連接BD,CD;如圖2,已知AB=AC,D、E為∠BAC的角平分線上面兩點(diǎn),連接BD,CD,BE,CE;如圖3,已知AB=AC,D、E、F為∠BAC的角平分線上面三點(diǎn),連接BD,CD,BE,CE,BF,CF;…,依次規(guī)律,第n個圖形中有全等三角形的對數(shù)是_________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABE中,∠AEB=90°,點(diǎn)F是邊AE上的一點(diǎn),D是EF的中點(diǎn),過點(diǎn)F作BE的平行線交BD的延長線于點(diǎn)C.若CF=AF,BE=6cm,DE=3cm,求△ABC的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我市某工藝廠設(shè)計(jì)了一款成本為10元/件的工藝品投放市場進(jìn)行試銷.每天銷售量(y件)與銷售單價x(元/件)的函數(shù)關(guān)系式是y=﹣10x+700
(1)當(dāng)銷售單價定為多少時,試銷該工藝品每天獲得的利潤最大?最大利潤是多少?
(2)市物價部門規(guī)定,該工藝品銷售單價最高不能超過35元/件,那么銷售單價定為多少時,工藝廠試銷該工藝品每天獲得的利潤最大?最大利潤是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠CAB交BC于點(diǎn)D,DE⊥AB,垂足為E,且AB=6cm,則△DEB的周長為( )
A. 4cm B. 6cm C. 8cm D. 10cm
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,∠ACB=90°,D為AB上一點(diǎn),過D點(diǎn)作AB垂線,交AC于E,交BC的延長線于F.
(1)∠1與∠B有什么關(guān)系?說明理由.
(2)若BC=BD,請你探索AB與FB的數(shù)量關(guān)系,并且說明理由.
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