Question

【題目】如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形紙片ABCD中，點(diǎn)M為邊CD上一點(diǎn)（不與C，D重合），將△ADM沿AM折疊得到△AME，延長(zhǎng)ME交邊BC于點(diǎn)N，連結(jié)AN．

（1）猜想∠MAN的大小是否變化，并說(shuō)明理由；

（2）如圖1，當(dāng)N點(diǎn)恰為BC中點(diǎn)時(shí)，求DM的長(zhǎng)度；

（3）如圖2，連結(jié)BD，分別交AN，AM于點(diǎn)Q，H．若BQ＝，求線段QH的長(zhǎng)度．

Answer 1

【答案】（1）∠MAN的大小沒(méi)有變化，理由見(jiàn)解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）由折疊知AD=AE、DM=EM、∠D=∠AEM=90°、∠DAM=∠EAM=∠DAE，再證Rt△BAN≌Rt△EAN得∠BAN=∠EAN=∠BAE，根據(jù)∠MAN=∠EAM+∠EAN=（∠DAE+∠BAE）可得答案；

（2）由題意知EN=BN=CN=1，設(shè)DM=EM=x，則MC=2-x、MN=1+x，在Rt△MNC中，由MC2+CN2=MN2列出關(guān)于x的方程求解可得；

（3）將△ABQ繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△ADG，連接GH，由旋轉(zhuǎn)知DG=BQ=，AG=AQ，∠ADG=∠ABQ=∠ADB=45°，∠BAQ=∠DAG，證△GAH≌△QAH得GH=QH，設(shè)GH=QH=a，得BD=AB=2，BQ=，DQ=，DH=-a，在Rt△DGH中，由DG2+DH2=GH2可得關(guān)于a的方程，解之可得答案．

（1）∠MAN的大小沒(méi)有變化，

∵將△ADM沿AM折疊得到△AME，

∴△ADM≌△AEM，

∴AD＝AE＝2、DM＝EM、∠D＝∠AEM＝90°、∠DAM＝∠EAM＝∠DAE，

又∵AD＝AB＝2、∠D＝∠B＝90°，

∴AE＝AB、∠B＝∠AEM＝∠AEN＝90°，

在Rt△BAN和Rt△EAN中，

∵，

∴Rt△BAN≌Rt△EAN（HL），

∴∠BAN＝∠EAN＝∠BAE，

則∠MAN＝∠EAM+∠EAN＝∠DAE+∠BAE＝（∠DAE+∠BAE）＝∠BAD＝45°，

∴∠MAN的大小沒(méi)有變化；

（2）∵N點(diǎn)恰為BC中點(diǎn)，

∴EN＝BN＝CN＝1，

設(shè)DM＝EM＝x，則MC＝2﹣x，

∴MN＝ME+EN＝1+x，

在Rt△MNC中，由MC2+CN2＝MN2可得（2﹣x）2+12＝（1+x）2，

解得：x＝，即DM＝；

（3）如圖，將△ABQ繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△ADG，連接GH，

則△ABQ≌△ADG，

∴DG＝BQ＝、AG＝AQ、∠ADG＝∠ABQ＝∠ADB＝45°、∠BAQ＝∠DAG，

∵∠MAN＝∠BAD＝45°，

∴∠BAQ+∠DAM＝∠DAG+∠DAM＝∠GAH＝45°，

則∠GAH＝∠QAH，

在△GAH和△QAH中，

∵，

∴△GAH≌△QAH（SAS），

∴GH＝QH，

設(shè)GH＝QH＝a，

∵BD＝AB＝2，BQ＝，

∴DQ＝BD﹣BQ＝，

∴DH＝﹣a，

∵∠ADG＝∠ADH＝45°，

∴∠GDH＝90°，

在Rt△DGH中，由DG2+DH2＝GH2可得（）2+（﹣a）2＝a2，

解得：a＝，即QH＝．